Punkty wspólne okręgów

[matematykapl]

1. Czy okręgi o równaniach \(\displaystyle{ (x + 3) ^{2} + (y - 1) ^{2} = 4}\) i \(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2} - 2x - 8y + 8 = 0}\) mają punkty wspólne?

Rysowałem odręcznie, mogło mi coś źle wyjść i wychodzi na to, że chyba nie mają punktów wspólnych, bądź stykają się zewnętrznie - jak będzie?

2. Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2} + 6x + 4 = 0}\) z prostą o równaniu \(\displaystyle{ y = 2x + 1}\) jest równa: 0, 1, 2 czy 3? Wyszło mi, że 2, albo będzie 1 bo mam też niedokładny rysunek - jak będzie?

Bardzo proszę o pomoc.

[kamil13151]

1) Mają punkt wspólny. Rozwiąż układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x + 3) ^{2} + (y - 1) ^{2} = 4 \\ x ^{2} + y ^{2} - 2x - 8y + 8 = 0 \end{cases}}\)

Ewentualnie poszukaj co musi zachodzić by okręgi były styczne zewnętrznie.

2) Rozwiąż układ równań.

[matematykapl]

Muszę to sprawdzić, rozwiązując układ równań? Nie mogę tego narysować i sprawdzić? Czyli w tym 1. mają punkt wspólny, ale tylko jeden i stykają się zewnętrznie - to chyba chodzi że od zewnątrz nachodzą na siebie i jest jeden punkt wspólny. Jakby zachodziły wewnętrznie to chyba nieskończenie wiele tych punktów wspólnych by było - czy się mylę?

[piasek101]

Mylisz się - nieskończoną ilość może mieć tylko dwa jednakowe (i to współśrodkowe) okręgi.

[matematykapl]

Tak dokładnie, styczne wewnętrznie też będą miały jeden punkt wspólny, ale ten mniejszy okrąg będzie w tym większym. Nie zdążyłem edytować.

[piasek101]

Dopowiem - posługiwanie się szkicami (rysunkami) nie jest poprawnym sposobem rozwiązywania tego typu zadań (chyba, że byłyby typu zamkniętego i rysunek dawałby jednoznaczną odpowiedź) - robisz układem (jak podano) lub analizujesz jak ma się odległość środków okręgów do ich promieni (sumy, różnicy).

[matematykapl]

No ale dobry rysunek też jest pomocny. Ja to analizowałem, posługując się odległością i zauważyłem to. Wielkie dzięki za pomoc.

[piasek101]

Te odległości trzeba wyliczać i wtedy analizować.