Dowolny sześciokąt wypukły-dowód

[kam51]

W dowolnym sześciokącie wypukłym \(\displaystyle{ A B C D E F}\) punkty \(\displaystyle{ K, L, M, N, P, Q}\) to środki odpowiednio boków: \(\displaystyle{ AB, BC, CD, DE, EF, FA}\). Wykaż że \(\displaystyle{ \vec{KL} + \vec{MN} + \vec{PQ} = \vec{0}}\)

[irena_1]

\(\displaystyle{ \vec{KL}=\vec{KB}+\vec{BL}=\frac{1}{2}\vec{AB}+\frac{1}{2}\vec{BC}\\\vec{MN}=\vec{MD}+\vec{DN}=\frac{1}{2}\vec{CD}+\frac{1}{2}\vec{DE}\\\vec{PQ}=\vec{PF}+\vec{FQ}=\frac{1}{2}\vec{EF}+\frac{1}{2}\vec{FA}\\\vec{KL}+\vec{MN}+\vec{PQ}=\frac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD}+\vec{DE}+\vec{EF}+\vec{FA})=\frac{1}{2}\vec{0}=\vec{0}}\)