Dany jest okrąg o środku w początku układu współrzędnych i promieniu równym r oraz dwa przeciwległe wierzchołki (A oraz B) kwadratu opisanego na tym okręgu. Uzasadnij, że suma kwadratów długości AM i BM nie zalezy od wyboru punktu M należącego do okręgu.
Do zadania dołączam rysunek, który sporządziłem:
Jeśli ktoś ma jakiś pomysł na rozwiązanie, to bardzo bym prosił o pomoc.
Na rysunku wygląda jakby trójkąt AOM był prostokątny, ale on wcale nie musi taki być i dlatego z tym zadaniem jest taki problem.
DOWÓD:Okrąg, na którym opisany jest kwadrat
-
Callan-Grey
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 4 gru 2006, o 20:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 3 razy
-
Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
DOWÓD:Okrąg, na którym opisany jest kwadrat
Z tw. cosinusów: Przyjmijmy
\(\displaystyle{ |AO|=|OB|=a,\:|OM|=r,\:|AM|=b,\: |BM|=c\\|\angle AOM|=\alpha,\;\angle|BOM|=180^\circ-\alpha}\)
wiemy, że
\(\displaystyle{ b^2=a^2+r^2-2ar\cos\alpha\\c^2=a^2+r^2-2ar\cos(180^\circ-\alpha)=a^2+r^2+2ar\cos\alpha}\)
dodajemy stronami
\(\displaystyle{ b^2+c^2=2(a^2+r^2)}\)
ponieważ a i r są stałe, to i \(\displaystyle{ b^2+c^2}\) jest wartością stałą
\(\displaystyle{ |AO|=|OB|=a,\:|OM|=r,\:|AM|=b,\: |BM|=c\\|\angle AOM|=\alpha,\;\angle|BOM|=180^\circ-\alpha}\)
wiemy, że
\(\displaystyle{ b^2=a^2+r^2-2ar\cos\alpha\\c^2=a^2+r^2-2ar\cos(180^\circ-\alpha)=a^2+r^2+2ar\cos\alpha}\)
dodajemy stronami
\(\displaystyle{ b^2+c^2=2(a^2+r^2)}\)
ponieważ a i r są stałe, to i \(\displaystyle{ b^2+c^2}\) jest wartością stałą