Jak wyznaczyć pęk płaszczyzn z równania kierunkowego prostej

[przemulala]

Treść zadania:

Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P(3, 1, -2) i zawierającą prostą L: \(\displaystyle{ \frac{x-4}{-2} = \frac{y+3}{2} = \frac{z}{1}}\).


Moim głównym problemem jest to, w jaki sposób mam otrzymać z danego w zadaniu kierunkowego równania prostej - równanie pęku płaszczyzn (wtedy jest to już tylko kwestia podstawienia odpowiednich danych). Potrafię wyznaczyć z niego jedynie punkt A(4, -3, 0) i wektor v=\(\displaystyle{ \left[-2, 2, 1\right]}\).

[BettyBoo]

Dla wyznaczenia pęku płaszczyzn zawierających daną prostą wystarczy mieć równania dowolnych dwóch płaszczyzn nierównoległych zawierających tą prostą. Wektory normalne tych płaszczyzn są do wektora kierunkowego prostej prostopadłe - więc wystarczy wziąć dowolne dwa nierównoległe wektory prostopadłe do \(\displaystyle{ v}\).

Pozdrawiam.

[przemulala]

Wyznaczyłem z iloczynu skalarnego następujące wektory, spełniające warunki, o których piszesz:

a = [1, -1, 0]
b = [1, 0, 2]

Tzn., że równanie krawędziowe prostej L będzie wyglądać następująco:

L: x-y=0, x+2z=0 ?

[BettyBoo]

Nie całkiem - pierwszy podany przez Ciebie wektor nie jest prostopadły do wektora kierunkowego prostej no i zapomniałeś o tym, że do zapisania równania płaszczyzn trzeba też wykorzystać punkt z prostej.

Pozdrawiam.

[Piotr246]

Przepraszam, że odkurzam stary temat, ale pozostał bez jednoznacznej odpowiedzi, a akurat takiego zadania szukałem, to czy ktoś mógłby sprawdzić czy moje rozwiązanie jest dobre?
Punkty należące do prostej wyczytuję:
\(\displaystyle{ P1: \left( 4,-3,0\right)}\)
\(\displaystyle{ P2: \left( 0,1,2\right)}\)

Z punktem \(\displaystyle{ P\left( 3,1,-2\right)}\) będą tworzyć wektory:
\(\displaystyle{ PP1 \left[ 1,-4,2\right]}\)
\(\displaystyle{ PP2 \left[ -3,0,4\right]}\)

Mnożąc wektorowo obydwa wektory z wektorem kierunkowym prostej otrzymam:
\(\displaystyle{ N1: \left[ -2,2,1\right] \times \left[ 1,-4,2\right] = \left[ 8,6,6\right]}\)

\(\displaystyle{ N2:\left[ -2,2,1\right] \times \left[ -3,0,4\right] = \left[ 8,5,6\right]}\)

Są to wektory normalne dwóch płaszczyzn z pęku.

Teraz podstawiam:
\(\displaystyle{ \alpha_1 : 8 \cdot 4 + 6 \cdot (-3)+6 \cdot 0+D=0}\)

\(\displaystyle{ D=-14}\)

\(\displaystyle{ \alpha_2 : 8 \cdot 0+5 \cdot 1+6 \cdot 2+D=0}\)

\(\displaystyle{ D=-17}\)

Więc równanie pęku płaszczyzn to:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 8x+6y+6z-14=0 \\ 8x+5y+6z-17=0 \end{cases}}\)