figura ograniczona 2 prostymi i fragmentem okręgu

[izaizaiza]

Oblicz pole figury ograniczonej prostymi \(\displaystyle{ k: 2x - y=0}\), \(\displaystyle{ l: y=0}\) oraz okręgiem \(\displaystyle{ x^{2}+y ^{2} =12}\).
Da się zrobić to zadanie bez kombinowania ze współczynnikiem kierunkowym prostej \(\displaystyle{ k}\)? Istnieje jakiś sposób, żeby przekształcić fragment okręgu w funkcję z określoną dziedziną i próbować z całki?
Czy jak mam 3 krzywe, to jest jakiś wzór, z którego mogę od razu obliczyć pole figury ograniczonej przez te proste?

[lukasz1804]

Oczywiście możesz zastosować rachunek całkowy, zauważając że figura jest wycinkiem kołowym zawartym wyłącznie w I ćwiartce układu. Zatem na pewno \(\displaystyle{ y=\sqrt{12-x^2}}\) i trzeba wyznaczyć punkty wspólne wykresu tej funkcji (czyli łuku okręgu) z obiema prostymi. Później należy tylko obliczyć pole wyróżniając trójkąt powstały pod prostą \(\displaystyle{ y=2x}\) oraz obszar pod łukiem okręgu.
Druga metoda opierająca się o wartość współczynnika kierunkowego prostej \(\displaystyle{ y=2x}\) daje wyłącznie wynik przybliżony. Tangens kąta środkowego wycinka kołowego ma wartość \(\displaystyle{ 2}\), co więcej ten kąt jest ostry (jako zawarty w I ćwiartce). Jednak nie potrafimy w sposób dokładny wyznaczyć jego miary, a tym samym także pola wycinka.

[izaizaiza]

Łapię, dzięki. A nie wiesz czy jest jakiś wzór, z którego bezpośrednio obliczę pole figury ograniczonej przez 3 krzywe? Kombinuję szukając (3) punktów przecięcia krzywych, przez które prowadzę 3 proste i wyznaczam ich równania a potem z całki oznaczonej. Wyjdzie mi z tego coś mądrego?

[lukasz1804]

Niestety nie znam takiego wzoru. Krzywe bywają przecież czasem bardzo skomplikowane.

[izaizaiza]

No tak, trochę uprościłam to zadanie sprowadzając do 1 przypadku, który możemy interpretować z wykresu