Znajdź styczną do okręgu w punkcie \(\displaystyle{ (X_o,Y_o)}\)
Równanie okręgu: \(\displaystyle{ x^2+y^2=r^2}\)
Środek okręgu w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\)
Prosta styczna do okręgu
-
songogu
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 14 gru 2011, o 19:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 2 razy
Prosta styczna do okręgu
Ostatnio zmieniony 14 gru 2011, o 20:02 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex]
Powód: Poprawa wiadomości. Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Prosta styczna do okręgu
Styczna jest prostą o równaniu ogólnym postaci \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\).
Z definicji stycznej do okręgu i ze wzoru na odległość punktu od prostej mamy \(\displaystyle{ \frac{|A\cdot 0+B\cdot 0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=r}\), tj. \(\displaystyle{ |C|=r\sqrt{A^2+B^2}}\).
Ponadto z założenia wynika, że \(\displaystyle{ Ax_0+By_0+C=0}\) oraz \(\displaystyle{ x_0^2+y_0^2=r^2}\).
Dla uproszczenia zapisu można przyjąć równoważnie, że \(\displaystyle{ x_0=r\cos\alpha, y_0=r\sin\alpha}\) dla pewnego ustalonego \(\displaystyle{ \alpha\in\langle 0,2\pi)}\). Wtedy ostatni warunek jest spełniony, a ponadto mamy \(\displaystyle{ -C=r(A\cos\alpha+B\sin\alpha)}\), więc \(\displaystyle{ |A\cos\alpha+B\sin\alpha|=\sqrt{A^2+B^2}}\).
Wystarczy teraz zbadać osobno przypadki \(\displaystyle{ A=0, B=0, AB\ne 0}\), przy czym za tę z liczb spośród \(\displaystyle{ A,B}\), która jest różna od zera, można położyć \(\displaystyle{ 1}\).
Z definicji stycznej do okręgu i ze wzoru na odległość punktu od prostej mamy \(\displaystyle{ \frac{|A\cdot 0+B\cdot 0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=r}\), tj. \(\displaystyle{ |C|=r\sqrt{A^2+B^2}}\).
Ponadto z założenia wynika, że \(\displaystyle{ Ax_0+By_0+C=0}\) oraz \(\displaystyle{ x_0^2+y_0^2=r^2}\).
Dla uproszczenia zapisu można przyjąć równoważnie, że \(\displaystyle{ x_0=r\cos\alpha, y_0=r\sin\alpha}\) dla pewnego ustalonego \(\displaystyle{ \alpha\in\langle 0,2\pi)}\). Wtedy ostatni warunek jest spełniony, a ponadto mamy \(\displaystyle{ -C=r(A\cos\alpha+B\sin\alpha)}\), więc \(\displaystyle{ |A\cos\alpha+B\sin\alpha|=\sqrt{A^2+B^2}}\).
Wystarczy teraz zbadać osobno przypadki \(\displaystyle{ A=0, B=0, AB\ne 0}\), przy czym za tę z liczb spośród \(\displaystyle{ A,B}\), która jest różna od zera, można położyć \(\displaystyle{ 1}\).