Równania prostych w postaci ogólnej i wysokości trójkąta

[Kiciolda]

Mam podać równania prostych w postaci ogólnej dla trójkąta narysowanego na układzie współrzędnych.

Nie mam pewności co do wyglądu równania tej prostej, o współrzędnych A=(-2,3) i B=(-2,2).
Wiem, że na pewno będzie to prosta pionowa - tak wynika z rysunku. Równaniem kierunkowym dla tej prostej musi być y= -2x, bo to widać gołym okiem

Wyliczam ze wzoru
\(\displaystyle{ (y - y_{A}) ( x_{B} - x _{A}) - ( y_{B} - y_{A}) (x - x_{A}) = 0}\)
więc
\(\displaystyle{ (y - 3) ( -2 - (-2)) - ( 2-3) (x - (-2)) = 0}\)

\(\displaystyle{ -x -2 = 0}\)

Czy dobrze? - Mam nadzieję, że nic nie pomieszałam...

Mam teraz policzyć wysokość tego trójkąta, którego wierzchołkiem jest C=(2,0)

Czy mam od razu skorzystać ze wzoru:
\(\displaystyle{ d = \frac{| Ax_{0} + By_{0} + C| }{ \sqrt{ A^{2} + B^{2} } }}\)
Czy może potrzebna jest najpierw prosta, prostopadła do prostej AB?

Mam wyznaczyć równania ogólne wszystkich prostych, długości każdego boku oraz wszystkie 3 wysokości tego trójkąta i nie chciałabym czegoś namieszać, bo mam jeszcze wiele zadań do zrobienia z geometrii analitycznej i nie tylko, a mam czas tylko do piątku...

Długość każdego boku trójkąta wyliczam ze wzoru na długość wektorową:
\(\displaystyle{ | \vec{AB}| = \sqrt{ ( x_{B} - x_{A} )^{2} + ( y_{B} - y_{A} )^{2} }}\)
więc
\(\displaystyle{ | \vec{AB}| = \sqrt{ (-2 - (-2))^{2} + ( 2 - 3)^{2} }}\)
\(\displaystyle{ | \vec{AB}| = \sqrt{ 0 + (-1)^{2} }}\)
\(\displaystyle{ | \vec{AB}| = \sqrt{ 1}}\)
Mam nadzieję, że tutaj też dobrze zrobiłam...

Jeśli gdzieś robię coś nie tak lub źle się do wszystkiego zabrałam, to napiszcie mi proszę, żebym nie zrobiła źle całego zadania...

[pawex9]

równanie prostej przechodzacej przez punkty A=(-2,3) i B=(-2,2) ma posta \(\displaystyle{ y=-2}\) aby policzyć wysokosc mozesz korzystac ze wzoru ale nie trzeba punkt c lezy na osi Ox wiec wysokosc bedzie poprostu wynosic 4.

[alfgordon]

\(\displaystyle{ -x -2 = 0}\)
Czy dobrze?

dobrze

Mam teraz policzyć wysokość tego trójkąta, którego wierzchołkiem jest C=(2,0)
Czy mam od razu skorzystać ze wzoru:
\(\displaystyle{ d = \frac{| Ax_{0} + By_{0} + C| }{ \sqrt{ A^{2} + B^{2} } }}\)

równanie prostej \(\displaystyle{ AB}\) już masz:
\(\displaystyle{ k: -x-2=0}\)
więc: \(\displaystyle{ A=-1 \ , \ B=0 \ , C=-2}\)

\(\displaystyle{ | \vec{AB}| = \sqrt{ 1}}\)
Mam nadzieję, że tutaj też dobrze zrobiłam...

dobrze

pawex9, raczej \(\displaystyle{ x=-2}\)

[Kiciolda]

No właśnie... to niemożliwe, żeby y= -2, bo wtedy prosta byłaby pozioma...

alfgordon - Dzięki za sprawdzenie, bo nie byłam pewna czy jest OK.
Jak obliczę wszystko, to się odezwę i spytam, czy wyniki mam dobre

[pawex9]

oczywiscie ze \(\displaystyle{ x=-2}\) moj bład przyznaje

[Kiciolda]

Wysokość trójkąta z podstawy AB wyszła mi 4, więc powinno się zgadzać; z podstawy BC wyszło 1, więc wygląda, że też dobrze policzyłam. Jednak chyba coś źle liczę z podstawy AC... - Może postać ogólną źle wyliczyłam?
\(\displaystyle{ A (-2,3);
B(-2,2);
C(2,0)}\)
Równanie kierunkowe wyszło mi takie:
\(\displaystyle{ AC: y= -\frac{3}{4}x + 1 \frac{1}{2}}\)
Postać ogólna będzie wyglądać tak:
\(\displaystyle{ \frac{3}{4}x + y - 1 \frac{1}{2}=0}\)
Pomnożyłam to przez 4, żeby nie działać na ułamkach i nie utrudniać sobie obliczeń i wyszło mi:
\(\displaystyle{ 3x + 4y - 6 = 0}\)
Skorzystałam ze wzoru:
\(\displaystyle{ d= \frac{|Ax + By + C|}{ \sqrt{ A^{2} + B^{2} } }}\) i wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{4}{5}}\) - Czy to dobry wynik?

Jeszcze nie mam pewności co do wyniku przy obliczaniu wysokości trójkąta od podstawy BC do wierzchołka A - wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{2}{ \sqrt{5} }}\) - to chyba też coś jest nie tak...