Równanie krawędziowe prostej

[Siemion92]

Mam takie zadanie:

Prosta l:\(\displaystyle{ \begin{cases} \pi _{1}: x+2y-z-3=0 \\\pi _{2}: x-y+z+1=0 \end{cases}}\) jest dana równaniem krawędziowym. Znaleźć jej postać kierunkową. I robię to w następujący sposób:
Sposób I
\(\displaystyle{ \vec{u _{1} }=[1,2,-1]}\) - wektor prostopadły do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi _{1}}\)
\(\displaystyle{ \vec{u _{2} }=[1,-1,1]}\) - wektor prostopadły do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi _{2}}\)

\(\displaystyle{ \vec{u _{1} } \times \vec{u _{2} } = [3,-2,-3]= \vec{u _{3} }}\) - wektor równoległy do prostej l

Wyznaczam dowolny punkt prostej l np.\(\displaystyle{ x=0 , P(0,2,1) \in l}\)

Piszę równanie parametryczne prostej l:

\(\displaystyle{ l: \begin{cases}x=3t\\y=2-2t \\ z=1-3t \end{cases}}\)

Przekształcam je na równanie kierunkowe:

\(\displaystyle{ \frac{x}{3}= \frac{y-2}{-2}= \frac{z-1}{-3}}\)

Sposób II:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+2y-z-3=0 \\\ x-y+z+1=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+2y=z+3 \\\ x-y=-z-1 \end{cases}}\) odejmuje stronami
\(\displaystyle{ y= \frac{2}{3}z+ \frac{4}{3}}\)
\(\displaystyle{ x=-z-1+y=- \frac{1}{3}z+ \frac{1}{3}}\)

Postać parametryczna:

\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x=- \frac{1}{3}t+ \frac{1}{3}\\ y=\frac{2}{3}t+ \frac{4}{3} \\ z=t \end{cases}}\)


Równanie krawędziowe:
\(\displaystyle{ \frac{x- \frac{1}{3} }{- \frac{1}{3} }= \frac{y- \frac{4}{3} }{ \frac{2}{3} }=z}\)

I moje pytanie to : Dlaczego wychodzą mi dwa różne rozwiązania?

[BettyBoo]

Nie wychodzą. To ta sama prosta, tylko inaczej zapisana - łatwo sprawdzić, że wektory są do siebie równoległe i że punkt(y) jednej prostej należy(ą) do drugiej.

Pozdrawiam.