Krzywa, którą tworza punkty

[Paulpentax]

Punkt \(\displaystyle{ X}\) leży trzy razy bliżej od osi \(\displaystyle{ OX}\) niż od ustalonego punktu \(\displaystyle{ Y}\) leżącego na osi \(\displaystyle{ OY}\). Jaka figurę tworzą możliwe punkty \(\displaystyle{ X}\)?

Doszedłem do tego, że:
Punkt \(\displaystyle{ Y}\) ma współrzędne \(\displaystyle{ (0.y)}\), a punkt \(\displaystyle{ X(x,l)}\)
\(\displaystyle{ 3|l|= \sqrt{ (x-0)^{2}+(l-y)^{2} }}\)
co daje:
\(\displaystyle{ 8l^{2}+2ly=x^{2}+y^{2}}\)

Co dalej trzeba zrobić? Czy to będzie hiperbola?

[chris_f]

Trochę sobie zamieszałeś oznaczeniami, ponieważ punkt \(\displaystyle{ Y}\) jest ustalony, to niech jego współrzędne wynoszą \(\displaystyle{ Y=(0,c)}\), a współrzędne tego "ruchomego" punktu \(\displaystyle{ X=(x,y)}\). Wtedy, tak jak Ty to zrobiłeś
\(\displaystyle{ 3|y|=\sqrt{x^2+(y-c)^2}}\)
\(\displaystyle{ 9y^2=x^2+y^2-2cy+c^2}\)
\(\displaystyle{ 8y^2+2cy-x^2=c^2}\)
\(\displaystyle{ 8(y^2+\frac14cy)-x^2=c^2}\)
\(\displaystyle{ 8\left[\left(y+\frac{c}{8}\right)^2-\frac{c^2}{64}\right]-x^2=c^2}\)
\(\displaystyle{ 8\left(y+\frac{c}{8}\right)^2-x^2=\frac98c^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{\left(y+\frac{c}{8}\right)^2}{\frac18}-x^2=\frac98c^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{\left(y+\frac{c}{8}\right)^2}{\frac18\cdot\frac98c^2}-
\frac{x^2}{\frac98c^2}=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{\left(y+\frac{c}{8}\right)^2}{\left(\frac{3c}{8}\right)^2}-
\frac{x^2}{\left(\frac{3c}{\sqrt8}\right)^2}=1}\)
no i masz równanie hiperboli w postaci kanonicznej.