kąt miedzy przekątnimi równoległoboku zbud. na wektorach

[graber]

Obliczyć kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) miedzy przekątnymi równoległoboku zbudowanego na wektorach:
\(\displaystyle{ \vec{a} =[2,1,1], \vec{b}=[-1,-2,1]}\)

kąt ten ma wynieść \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\)

[pawex9]

czy te wektory są na pewno takie?
z tego co policzyłem to wychodzi mi ze ten kąt to 120 stopni.

[graber]

tak, wartości wektorów sa dobre.
mi wyszło \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3}}\)
tyle ze policzyłem tylko kat miedzy tymi dwoma wektorami, a nie miedzy przekątnymi. nie wiem jak się zabrać do policzenia katu miedzy przekątnymi. ma ktoś jakiś pomysł?

[kropka+]

Można wykorzystać dwa wzory na pole równoległoboku. Poczytaj:

[graber]

Rozumiem ze mam wyliczyć pole normalnie z wektorów a potem przyrównać wynik do równania pola które uwzględnia iloczyn dwóch przekątnych?

Tj:

\(\displaystyle{ d1= \vec{a} + \vec{b} , d2= \vec{a} - \vec{b}}\)

\(\displaystyle{ P= \vec{a} \times \vec{b}}\)
\(\displaystyle{ P=\left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\2&1&1\\-1&-2&1\end{array}\right|}\)
\(\displaystyle{ P=3 \sqrt{3}}\)

i teraz podstawiam wynik do wzoru na pole z uwzględnieniem przekątnych?
tj:

\(\displaystyle{ P= \frac{d1*d2}{2}*sin \alpha}\)

\(\displaystyle{ 3 \sqrt{3} = \frac{d1*d2}{2}*sin \alpha}\)

\(\displaystyle{ 3 \sqrt{3}= \frac{(\vec{a} + \vec{b})*(\vec{a} - \vec{b})}{2}*sin \alpha}\)

Czy dobrze myślę?

[kropka+]

tak