Uzasadnij, że równanie nie opisuje okręgu

Gawroon7 · Post autor: **Gawroon7** » 6 gru 2011, o 23:03

No więc na pierwszy rzut oka widać, że równanie
\(\displaystyle{ (x-1)^{2}+5=0}\)
nie opisuje okręgu ale jak to teraz zapisać? Wystarczy po prsotu napisać, że równanie opisuję funkcje kwadratowa(sprzeczną)?

miki999 · Post autor: **miki999** » 6 gru 2011, o 23:12

Okrąg jest to pewien zbiór punktów na płaszczyźnie. Zbiór punktów spełniający to równanie jest zbiorem pustym. Tyle.

chris_f · Post autor: **chris_f** » 6 gru 2011, o 23:14

Nie ma czegoś takiego jak funkcja (jakakolwiek) sprzeczna.
Po prostu to tego równania nie spełniają żadne pary liczb \(\displaystyle{ x,y}\) (bo do jakiejś linii potrzebne sa nam dwie zmienne) - dokładniej mówiąc nie spełnia ich żadna liczba \(\displaystyle{ x}\). Czyli nie mamy żadnej linii, a tym bardziej okręgu.
A co byś powiedział na równanie \(\displaystyle{ (x-4x+y^2+2y-5=0}\) ?

Gawroon7 · Post autor: **Gawroon7** » 6 gru 2011, o 23:21

Dzieki, nigdy nie bede wiedzial jak poprawnie zapisywac odp. :p

pawex9 · Post autor: **pawex9** » 6 gru 2011, o 23:23

wystarczy pokazać ze dla każdego \(\displaystyle{ x}\) istnieje tylko jeden \(\displaystyle{ y}\) wtedy wiadomo że funkcja nie jest okręgiem.

Gawroon7 · Post autor: **Gawroon7** » 6 gru 2011, o 23:35

@chris_f

z tego co mnie uczono, to to nie bedzie rownanie okregu bo \(\displaystyle{ x}\) nie jest do kwadratu..
\(\displaystyle{ -3x+(y +1)^{2}=5}\)
No i nie wiem co bym napisał mając takie rownanie.

chris_f · Post autor: **chris_f** » 6 gru 2011, o 23:37

Sorry, tam na początku miał być \(\displaystyle{ x^2}\) - taka literówka, jak się szybko pisze, to ... wiadomo.
[edit]
A jak nie ma tam kwadratu to wyjdzie ci równanie paraboli (ale to tak na marginesie)

Gawroon7 · Post autor: **Gawroon7** » 6 gru 2011, o 23:48

Co do tematu to jesli by był kwadrat, no to
\(\displaystyle{ (x-2)^{2}+(y+1)^{2} =10}\)
jest równaniem okręgu bo
\(\displaystyle{ r>0}\)

Ale ciekaw jestem jak to parabola? Mógłbys to rozpisać/wyjaśnic bo szczerze mówiąc nie za bardzo wiem jak to parabola? Bo mając takie równanie zatrzymałbym się tam:
\(\displaystyle{ (y +1)^{2}=5 +3x}\)
\(\displaystyle{ y^2 + 2y=4 +3x}\)

chris_f · Post autor: **chris_f** » 6 gru 2011, o 23:57

Przenieś czwórkę na lewo, podziel przez trzy.
Dostaniesz wtedy równanie paraboli, tyle, że takiej leżącej (tak jakbyś zwykła parabolę obrócił o \(\displaystyle{ 90^\circ}\) w prawo.
Po prostu literki x i y zmieniły się miejscami, wyobraź sobie, że obracasz zeszyt z układem współrzędnych w lewo o kąt prosty, i co dalej możesz rysować wykresy funkcji, tyle, że funkcji postaci \(\displaystyle{ x=f(y)}\), ale wykresem dalej będzie parabola. Okrąg jakbyś go nie obrócił zawsze będzie okręgiem, podobnie, parabola, hiperbola itd.

Gawroon7 · Post autor: **Gawroon7** » 7 gru 2011, o 00:04

Tzn się i to bedzie funkcja dalej? Po prostu oś X bedzie w pionie tak?

chris_f · Post autor: **chris_f** » 7 gru 2011, o 01:07

To znaczy tak, będzie to funkcja, tyle że przyporządkowująca \(\displaystyle{ y}\)-owi \(\displaystyle{ x}\)-a, ale to jest dużo bardziej skomplikowane. Krzywej nie musi opisywać funkcja, tylko równanie, zauważ, że równanie okręgu nie jest funkcją ze względu na żadną zmienną, natomiast to równanie paraboli da się przedstawić w postaci funkcji, tyle, że odwrotnej, tzn. \(\displaystyle{ y}\) pełni tu rolę zmiennej niezależnej, a \(\displaystyle{ x}\) jest wartością funkcji.
Są krzywe, których równanie nie da się przedstawić w postaci jawnej funkcji, ale to równanie opisuje krzywą.
Zobacz np. równanie
\(\displaystyle{ x^{\frac23} + y^{\frac23} = a^{\frac23}}\)
Jest to równanie opisujące tzw. asteroidę i tu nie da się przedstawić jednej zmiennej jako funkcję drugiej w sposób w miarę elementarny).
Dlatego bardzo ważne jest rożróżnienie pojęcia funkcji, wykresu i krzywej, to nie jest to samo, tylko często dla ułatwienia utożsamiamy te rzeczy - tzn. funkcję (jej wzór) z jej wykresem i krzywą którą jest ten wykres.