Rzut prostokątny prostej

[jpsz25]

Witam, prosilbym o pomoc z nastepujacym zadaniem:
Znaleźć rzut prostokątny prostej \(\displaystyle{ l}\): \(\displaystyle{ x=3+t, y = -1 + 2t, z = 4+4t}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi : 2x+y+z-7=0}\).
Mój tok rozumowania wyglada następująco: szukam punktu przebicia płaszczyzny przez prostą - rozwiązuje układ złożony z równania prostej oraz płaszczyzny, wyliczam \(\displaystyle{ t}\), podstawiam do równania prostej i otrzymuje punkt przebicia \(\displaystyle{ A}\). Następnie obieram sobie dowolny punkt \(\displaystyle{ B}\) leżący na prostej \(\displaystyle{ l}\) (różny od \(\displaystyle{ A}\)). Potem znajduje równanie prostej \(\displaystyle{ k}\) prostopadłej do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ B}\). Szukam rzutu \(\displaystyle{ B}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi}\) (rozwiazuje uklad zlozony z rownania plaszczyzny i rownania prostej \(\displaystyle{ k}\). Znaleziony punkt oznaczam jako \(\displaystyle{ B'}\). Następnie piszę parametryczne równanie prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A}\) oraz zawierającej wektor \(\displaystyle{ \vec{AB'}}\) - prosta ta jest szukanym rzutem.
Czy to rozumowanie jest poprawne? Za kazdym razem wynik rozni sie od odpowiedzi z ksiazki, ktora brzmi:
\(\displaystyle{ x= \frac{11}{4} - 5t, y = - \frac{3}{2} + 2t, z = 3+8t}\)

Z gory dziekuje
pozdrawiam

[chris_f]

Rozumowanie jest poprawne, sam bym tak robił, chociaż. Różnica może brać się stąd, że Ty wybrałeś jakiś punkt na prostej, a autorzy mogli wybrać inny, zmieni to jedynie parametryzację prostej. Sprawdź, czy wektora kierunkowego prostej którą otrzymałeś nie da się przedstawić jako \(\displaystyle{ a\cdot[-5,2,9]}\), jeżeli tak to masz po prostu inną parametryzację prostej.
Problem drobny mógłby się pojawić w tej metodzie gdyby prosta była równoległa do płaszczyzny, ale wtedy rozwiązalibyśmy to w sposób ogólny wybierając dwa dowolne punkty na prostej i robiąc to co Ty zrobiłeś z punktem \(\displaystyle{ B[/te]}\)