Równania okręgu

[kajl]

1. Wyznacz równania prostych stycznych do okręgu \(\displaystyle{ x^{2}+y ^{2} =16}\) prostopadłych do prostej o równaniu \(\displaystyle{ y= \frac{1}{3}x}\).

2. Dany jest okrąg o równaniu \(\displaystyle{ x^{2}+y ^{2} +4x-8y=0}\). Wyznacz równania prostych stycznych do okręgu nachylonych do osi \(\displaystyle{ OX}\) pod kątem \(\displaystyle{ 135}\) stopni.

3. Wyznacz równania prostych przechodzących przez punkt \(\displaystyle{ P=(-1,2)}\) i stycznych do okręgu o równaniu \(\displaystyle{ (x-3) ^{2} +y ^{2}=9}\)

4. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których prosta opisana równaniem \(\displaystyle{ 4x-3y+m=0}\) ma dokładnie dwa punkty wspólne z okręgiem o równaniu \(\displaystyle{ x ^{2}+(y-3) ^{2} =16}\)

[lukasz1804]

1. Skorzystaj z warunku prostopadłości prostych, by uzależnić równanie szukanej stycznej od jednego parametru. Przekształć otrzymane równanie do postaci ogólnej i skorzystaj ze wzoru na odległość punktu od prostej (styczna jest odległa od środka okręgu o długość promienia).

2. Zapisz równanie okręgu w postaci jawnej, wyznacz też współczynnik kierunkowy stycznej (korzystając z danego kąta). Postępuj dalej jak w 1.

3. Sprawdź najpierw bezpośrednio, czy jedną ze stycznych nie jest prosta równoległa do osi \(\displaystyle{ OY}\) - która to mogłaby być prosta? Wykorzystaj punkt \(\displaystyle{ P}\) do wyznaczenia równań stycznych w zależności od jednego parametru. Dalej postępuj jak w 1.

4. Wystarczy, by odległość prostej od środka okręgu była mniejsza od długości jego promienia.