nierówności drugiego stopnia

[Disnejx86]

Jak przedstawić graficznie zbiór rozwiązań nierówności

a) \(\displaystyle{ (x-y)^{2} \le x-y}\)
b) \(\displaystyle{ xy+x-2y \le 2}\)

Proszę o dokładne wytłumaczenie co po kolei mam rysować i robić bo za bardzo nie wiem o co w tym biega. W podpunkcie a, podejrzewam że druga część to \(\displaystyle{ y=x}\). Drugiego podpunktu wogóle nie rozumiem, jak należy w takich sytuacjach postępować gdy jest coś takiego jak np. \(\displaystyle{ xy}\)

[anna_]

b)
\(\displaystyle{ xy+x-2y \le 2}\)

\(\displaystyle{ xy+x-2y-2 \le 0}\)

\(\displaystyle{ x(y+1)-2(y+1) \le 0}\)

\(\displaystyle{ (y+1)(x-2) \le 0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y+1 \ge 0 \\ x-2 \le 0 \end{cases}}\) lub \(\displaystyle{ \begin{cases} y+1 \le 0 \\ x-2 \ge 0 \end{cases}}\)

a)
\(\displaystyle{ (x-y)^{2} \le x-y}\)

\(\displaystyle{ (x-y)^{2} -(x-y) \le 0}\)

\(\displaystyle{ (x-y)(x-y-1) \le 0}\)

I rozpisujesz na dwa przypadki

[Disnejx86]

Ok. Dzieki. A co jakby tak ładnie się nie zwijało? To jest jakiś sposób na narysowanie takiej krzywej?

[anna_]

Wtedy trzeba wyznaczać \(\displaystyle{ x}\) lub \(\displaystyle{ y}\)

[Disnejx86]

No i co miałbym takie coś: \(\displaystyle{ 2x^{2}+xy-5y^{2}-3=0}\) To z tego jakbym przykładowo wyznaczył y to bym otrzymał: \(\displaystyle{ |y|=\sqrt{\frac{\frac{2}{5}x^{2}-\frac{3}{5}}{x}}}\). To by było "brzydkie" i trudne do narysowania, zgadłem?

[anna_]

Źle wyznaczyłeś tego \(\displaystyle{ y}\), ale masz rację to byłoby brzydkie.

Masz taki przykład do zrobienia, czy sam go wymyśliłeś?

[Disnejx86]

Sam go wymyśliłem. A jeszcze mam jedną sprawę jak policzyć równania osi symetrii krzywej o równaniu \(\displaystyle{ xy+6=0 \Leftrightarrow y=-\frac{6}{x}}\)?

[anna_]

Najpierw szukasz współrzędnych środka symetrii. Potem równanie prostych równoległych do \(\displaystyle{ y=x}\) i do \(\displaystyle{ y=-x}\) i przechodzących przez ten środek.

[Disnejx86]

Środek symetrii to będzie moim zdaniem punkt (0,0) a środek tych dwóch krzywych jak się liczy? możesz jakoś to ładnie rozpisać?

[anna_]

Nie szukasz środka krzywych.
Ta funkcja, którą podałeś to funckaj homograficzna.
Równania osi symetrii funkcji \(\displaystyle{ y= \frac{a}{x}}\) to \(\displaystyle{ y=x}\)i \(\displaystyle{ y=-x}\).

Wyżej podałam sposób szukania osi dla funkcji homograficznej jest postaci \(\displaystyle{ y= \frac{ax+b}{cx+d}}\)
Współrzędne środka symetrii, to współrzędne przecięcia się asymptot, czyli \(\displaystyle{ (- \frac{d}{c} ; \frac{a}{c})}\)