Znajdź współrzędne pozostałych wierzchołków trójkąta

[kamil13151]

Wierzchołki trójkąta równobocznego \(\displaystyle{ ABC}\) leżą na paraboli, będącej wykresem funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x^2-6x}\). Punkt \(\displaystyle{ C}\) leży w wierzchołku paraboli. Znajdź współrzędne jednego z pozostałych wierzchołków trójkąta.

Zrobiłem to wykorzystując wysokość trójkąta równobocznego, widziałem również rozwiązanie operonu opierające się na wyszukaniu prostych, które są pod kątem 60 i 120 stopni, jednak chcę dokończyć te zadanie moim pierwszym pomysłem.

Mamy:
\(\displaystyle{ C=(3,-9)}\)
Szukamy punktu o współrzędnych \(\displaystyle{ A=(x;x^2-6x)}\)
\(\displaystyle{ |AC|= \sqrt{(x-3)^2+(x^2-6x+9)^2}}\)

Teraz chciałem jakoś znaleźć długość odcinka \(\displaystyle{ |AB|}\), ale jakoś nie mam pomysłu (wiadomo, że mają taką samą drugą współrzędną). Da się to wyliczyć, by potem powstała równość \(\displaystyle{ |AC|=|AB|}\) ?

[anna_]

\(\displaystyle{ A=(x_1;x_1^2-6x_1)}\)
\(\displaystyle{ B=(x_2;x_2^2-6x_2)}\)

\(\displaystyle{ |AC|=|AB|}\)
\(\displaystyle{ |AC|=|CB|}\)

[Psiaczek]

I jak zwykle moje spostrzeżenia... gdyby wykorzystać symetrię względem wierzchołka i oznaczyć te punkty

\(\displaystyle{ (3-x,(3-x)^2-6(3-x))}\) a drugiego \(\displaystyle{ ((3+x),(3+x)^2-6(3+x))}\) gdzie \(\displaystyle{ x>0}\)

to się przekształci do \(\displaystyle{ (3-x,x^2-9)}\) oraz \(\displaystyle{ (3+x,x^2-9)}\)

odległość między nimi \(\displaystyle{ 2x}\) a dowolnego z nich od wierzchołka np.prawego
\(\displaystyle{ \sqrt{(3+x-3)^2+(x^2-9-(-9))^2}= \sqrt{x^2+x^4}}\)

i dosyć proste równanie \(\displaystyle{ \sqrt{x^2+x^4}=2x}\)