Punkt przecięcia w zależności od parametru

[Mens]

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) podane proste mają punkt wspólny:

\(\displaystyle{ mx + y = 1}\)

\(\displaystyle{ x − my = m}\)

Mógłby mi ktoś wytłumaczyć krok po kroku jak to zrobić? Próbowałem zrobić metoda wyznacznikową, ale niestety wychodzi mi inaczej niż jest w odpowiedziach (w sensie, powinno być że \(\displaystyle{ m}\) należy do rzeczywistych).

Nie chciałbym zakładać oddzielnego tematu, więc może spytam tutaj. Mógłby ktoś mi podać warunki równoległości i prostopadłości do wektora? Robię z tego zadania, a za każdym razem wychodzi mi inaczej jeśli chodzi o równoległość.

[Sherlock]

Dla jakich wartości parametru m podane proste mają punkt wspólny:

wykresem drugiej funkcji nie jest prosta tylko hiperbola.

Z pierwszego mamy \(\displaystyle{ y=1-mx}\), z drugiego mamy \(\displaystyle{ y= \frac{1}{x}}\) (zakładamy \(\displaystyle{ x \neq 0}\)). Przyrównujemy:
\(\displaystyle{ 1-mx=\frac{1}{x}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1-x+mx^2}{x}=0}\)
Ponieważ piszesz w liczbie pojedynczej ("mają punkt wspólny") więc w liczniku sprawdzamy dla jakiego m delta będzie równa zero. Winno wyjść \(\displaystyle{ m= \frac{1}{4}}\). Pamiętamy o założeniu: \(\displaystyle{ x \neq 0}\).

[Mens]

Nie wiem czemu, ale w pierwszy przykładzie coś tex nawalił. Powinno być \(\displaystyle{ x-my=m}\)

[Sherlock]

No to z pierwszego mamy \(\displaystyle{ y=1-mx}\), z drugiego \(\displaystyle{ y= \frac{1}{m}x-1}\)
\(\displaystyle{ 1-mx= \frac{1}{m}x-1}\)
\(\displaystyle{ m-m^2x=x-m}\)
\(\displaystyle{ x(m^2+1)=2m}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{2m}{m^2+1}}\)
czyli jak pisałeś można za m podstawić dowolną liczbę rzeczywistą i otrzymamy odciętą punktu przecięcia

W sumie nie ma co tu liczyć bo
\(\displaystyle{ y=-mx+1}\) oraz \(\displaystyle{ y= \frac{1}{m}x-1}\) mają różne współczynniki kierunkowe więc proste nigdy nie będą równoległe (brak punktów przecięcia) - dla każdego m gdzieś się tam przetną...

-- 25 listopada 2011, 09:50 --
Zapomniałem dodać założenie \(\displaystyle{ m \neq 0}\) (w drugiej funkcji w współczynniku kierunkowym dzielimy przez \(\displaystyle{ m}\)) ale dla wersji pierwotnej drugiej funkcji, po podstawieniu \(\displaystyle{ m=0}\), pozostanie \(\displaystyle{ x=0}\). To nie jest funkcja liniowa, ale wykresem też jest prosta (mamy wtedy \(\displaystyle{ x=0}\) oraz \(\displaystyle{ y=1}\) a punktem przecięcia jest punkt \(\displaystyle{ P(0,1)}\)).

-- 25 listopada 2011, 18:17 --

Zastanawiałem się jeszcze nad stroną formalną Teraz winno być OK:
Sprowadzamy oba równania prostych do postaci ogólnej:
\(\displaystyle{ mx+y-1=0}\)
\(\displaystyle{ x-my-m=0}\)
Warunek równoległości dwóch prostych w postaci ogólnej:
\(\displaystyle{ A_1B_2-A_2B_1=0}\)
u nas:
\(\displaystyle{ m \cdot (-m)-1 \cdot 1=-m^2-1}\) dla żadnego m nie uzyskamy 0, więc proste nigdy nie będą równoległe (nie będą się więc także pokrywać - wtedy mają nieskończenie wiele punktów wspólnych) - skoro tak to dla każdego m rzeczywistego proste się przetną.