Matematyka.pl

Witam...

Mam takie zadanie i nie mam pojęcia jak się w ogóle za nie zabrać... W ogóle nie miałem na zajęciach nic o zależnościach liniowych, ale muszę je zrobić...

Znaleźć zależność liniową między wektorami: \(\displaystyle{ m=a-b+c}\), \(\displaystyle{ p=a+b}\), \(\displaystyle{ q=b+ \frac{1}{2}c, r=b-c}\).

Proszę o pomoc...

wiesz czym jest kombinacja liniowa wektorów?

szczerze, to nie mam pojęcia...

to nie wiem jak Ci to tłumaczyć bez takich podstaw. Wiesz chociaż czym jest przestrzeń liniowa i jak się dodaje, odejmuje wektory od siebie i jak mnoży się wektor przez skalar??

to wiem...

Nie trzeba tu czasami zbudować z tych równań wyznacznika?

zbiór wektorów jest liniowo zależny jeśli istnieje w nim jeden wektor liniowo zależny od pozostałych.

Wektor jest liniowo zależny od innych wektorów jeśli:
\(\displaystyle{ w=\alpha a+\beta b+ \gamma c}\), gdzie w, a, b, c są wektorami a \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\) są skalarami..

Dzięki...

\(\displaystyle{ \alpha (a – b + c) + \beta (a+b) + \gamma (b+0,5c) + \delta (b – c)}\)

Coś takiego? Co dalej zrobić z tym fantem...

chodzi o to, że musisz wykazać, że jeden z wektorów jest liniowo zależny od pozostałych..
przykładowo, że m jest liniową kombinacją wektorów p, q i r..
Zauważasz np, że \(\displaystyle{ q-r=b+0,5c-b+c=1,5c}\)

Zatem: \(\displaystyle{ \frac{2}{3}(q-r)=c}\)
Będzie można to wykorzystać..

Bierzemy:
\(\displaystyle{ p-2r=a+b-2(b-c)=a-b+2c}\) Mamy już prawie to, o co nam chodzi.. musimy jeszcze tylko odjąć c..
\(\displaystyle{ p-2r-\frac{2}{3}(q-r)=p-\frac{4}{3}r-\frac{2}{3}q=a+b -\frac{4}{3}(b-c)+\frac{2}{3}(b+\frac{1}{2}c)=a+b-\frac{4}{3}b+\frac{4}{3}c-\frac{2}{3}b-\frac{1}{3}c=a-b+c=m}\)

Pokazałem, że m jest liniową kombinacją pozostałych wektorów ze zbioru, zatem zbiór jest liniowo zależny.

PS. Jak zapewne się dowiesz, maksymalny (co do ilości wektorów) liniowo niezależny podzbiór zbioru wektorów przestrzeni liniowej nazywa się bazą przestrzeni. Inne twierdzenie mówi, że ilość wektorów w bazie jest równa wymiarowi przestrzeni liniowej. Zauważ, że tutaj cztery wektory zależały od niejako 3 współrzędnych (a,b,c).. Czyli miałeś 4 wektory w przestrzeni trójwymiarowej, w której maksymalnie 3 różne wektory mogą być liniowo niezależne.. Stąd od początku wynikało, że zbiór musiał być liniowo zależny

Dzięki wielkie za to wszystko...

Możesz mi tylko powiedzieć skąd w odpowiedziach do tego zadania wzięło się coś takiego:
\(\displaystyle{ 3m-3p+2q+4r=o}\) i z czego to wynika...

Chodzi o to, że kombinacja wektorów niezależnych nie da Ci wektora zerowego..

To jest dowód równoważny.. Zauważ, że:

\(\displaystyle{ p-\frac{4}{3}r-\frac{2}{3}q=m \ \ |\cdot(-3) \Leftrightarrow \\
-3p+2q+4r=-3m \Leftrightarrow \\
3m-3p+2q+4r=0}\)

Dzięki wielkie, teraz już wszystko wiem...