Pole równoległoboku i iloczyn wektorowy

[gosia19]

Wiadomo, ze pole równoległoboku rozpietego przez \(\displaystyle{ \vec{p}}\) i \(\displaystyle{ \vec{q}}\) wynosi 7. Oblicz pole trójkata rozpietego przez \(\displaystyle{ \vec{a} = 2\vec{p} + \vec{q}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b} = \vec{p} -3\vec{q}}\).

To na pewno jest proste zadanie, ale nie pamiętam jak się to robiło

[Inkwizytor]

1. \(\displaystyle{ P_{rownoleglobok}=\left| \vec{p} \times \vec{q} \right| = 7}\)
2. \(\displaystyle{ P_{trojkat} = \frac{1}{2} \cdot \left| \vec{a} \times \vec{b} \right|}\)
3. Pamiętaj że \(\displaystyle{ \vec{w} \times \vec{w} =\vec{0}}\)

[gosia19]

Wzory znam. Czy można prosić o trochę większą podpowiedź?

[Inkwizytor]

\(\displaystyle{ \vec{a} \times \vec{b} = (2\vec{p} + \vec{q}) \times (\vec{p} -3\vec{q}) = ...}\) ?
Jaki jest następny krok?

[gosia19]

No właśnie jaki?

[Inkwizytor]

A jakie znasz prawa działań z wplątanym iloczynem wektorowym? Do tego zwróć uwagę na wskazówkę nr 3 z poprzedniego postu

[gosia19]

\(\displaystyle{ \vec{a} \times \vec{b} = (2\vec{p} + \vec{q}) \times (\vec{p} -3\vec{q}) = 2\vec{p} \times \vec{p}+2\vec{p}\times (-3\vec{q})+\vec{q}\times\vec{p}+\vec{q}\times(-3\vec{q})=-6(\vec{p}\times\vec{q})-\vec{p}\times\vec{q}}\)

\(\displaystyle{ |\vec{a} \times \vec{b}|=|-6(\vec{p}\times\vec{q})-\vec{p}\times\vec{q}|=|-6\cdot7-7|=49}\)

Czy to jest dobrze?

[Inkwizytor]

tak