Pkt Przebicia Płaszczyzny układ kartezjański xyz

[konioczynka]

Potrzebuje pomocy przy rozwiązaniu zadania, jego treść :

ZNajdz punkt przebicia płaszczyzny \(\displaystyle{ x+2y+3z-29=0}\) przez prostą \(\displaystyle{ \frac{x}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z+2}{1}}\)

Jedyny pomysł na jaki wpadłem to wyliczyć punkt wspólny płaszczyzny z prostą. Jeśli nie ma rozwiązań to nie ma przebicia a jak jedno rozwiązanie to jest i trzeba jakoś to zbadać, tylko jak?
Jakieś podpowiedzi?

[BettyBoo]

Aby wiedzieć, co zrobić, odpowiedz sobie na pytania (i wyciągnij z tego wnioski):

1) Skąd wiadomo, że punkt należy do podanej prostej/płaszczyzny?
2) Skąd wiadomo, że punkt jest punktem wspólnym prostej i płaszczyzny?
3) Jak należy rozumieć podwójne równości?

Uwaga dodatkowa: z reguły łatwiej się liczy, gdy prostą zapiszesz w postaci parametrycznej.

Pozdrawiam.

[konioczynka]

Szczerze, to na pierwsze dwa pytania nie umiem konkretnie odpowiedzieć, prawdopodobnie bym podstawiał pkt do płaszczyzny i oczekiwał 0. Na 3 pytanie nie mam w ogóle pomysłu.

[BettyBoo]

Ad 1) Punkt należy do prostej/płaszczyzny, jeśli spełnia jej równanie - tzn., tak jak podejrzewasz, jeśli podstawisz współrzędne punktu do równania, to należy oczekiwać, że równość zachodzi.

Ad 2) Punkt wspólny prostej i płaszczyzny to taki, który należy i do prostej i do płaszczyzny - czyli spełnia oba równania jednocześnie, co znaczy, że spełnia układ równań.

Wniosek: trzeba zrobić z podanych równań układ i go rozwiązać.

Ad 3) Podwójne równości to tak naprawdę skrót. Należy go rozumieć tak, że zachodzi jednocześnie \(\displaystyle{ \frac{x}{2} = \frac{y-1}{1}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{y-1}{1} = \frac{z+2}{1}}\).

W efekcie masz do rozwiązania układ trzech równań z trzema niewiadomymi.

Jeśli zapiszesz równanie prostej w postaci parametrycznej, to układ łatwo się rozwiązuje.

Pozdrawiam.

[konioczynka]

Możesz sprawdzić czy dobrze mi wyszło?
\(\displaystyle{ x i y = 6 \frac{1}{3} z= 7 \frac{1}{3}}\)
Mój tok rozumowania:

\(\displaystyle{ x + 2 = y+2}\)
\(\displaystyle{ y+2 = z+1}\)
\(\displaystyle{ x + 2y +3z -29 = 0}\)


\(\displaystyle{ x-y=0}\)
\(\displaystyle{ y-z+1=0}\)
\(\displaystyle{ x+2y+3z-29=0}\)
i dalej to tak rozwiązałem z takimi wynikami

[BettyBoo]

Pojęcia nie mam, skąd wzięły Ci się takie równania...

\(\displaystyle{ \frac{x}{2} = \frac{y-1}{1} \ \Longleftrightarrow\ x=2(y-1)}\)

\(\displaystyle{ \frac{y-1}{1} = \frac{z+2}{1}\ \Longleftrightarrow\ y-1=z+2\ \Longleftrightarrow\ z=y-3}\)

Wstawiasz to do równania płaszczyzny.

Pamiętaj też, że odpowiedzią ma być punkt, więc trzeba to odpowiednio zapisać.

Pozdrawiam.

[konioczynka]

Znalazłem błąd w przepisaniu zadania, zaraz sprawdze wynik

\(\displaystyle{ \frac{z+1}{2}}\) powinno być

Co daje wynik \(\displaystyle{ (6;4;5)}\)
Dzięki wielkie z tym równaniem to się zagubiłem.

[BettyBoo]

Znalazłem błąd w przepisaniu zadania, zaraz sprawdze wynik\(\displaystyle{ \frac{z+1}{2}}\) powinno być

Co daje wynik \(\displaystyle{ (6;4;5)}\)

Ano, wedle nowych danych Twoja odpowiedź jest poprawna

Pozdrawiam.