Zbiór wypukły

[marlenka111]

Sprawdzić, czy zbiór jest zbiorem wypukłym:
\(\displaystyle{ 1.A=\left\{ ( x_{1}, x_{2}) \in R^{2}: x_{1}+ x_{2} \le 2; x_{1}^{2}+3x_{2}^{2} <1\right\}}\)
\(\displaystyle{ 2.A=\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in R^{3}:6 x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2} \ge 6 \right\}}\)

[szw1710]

1. tak, 2. nie. Spróbuj narysować zbiór 1., zbiór 2. jest... Zobacz równania powierzchni stopnia 2 w przestrzeni trójwymiarowej.

1. jest zbiorem wypukłym jako część wspólna zbiorów wypukłych. Pierwsza nierówność określa półpłaszczyznę, więc zbiór wypukły. A druga co określa? Jakie sa równania krzywych stopnia 2 na płaszczyźnie?

Zły dział. To raczej geometria analityczna.

[marlenka111]

Tzn. ja to nie mogę zrobić za pomocą rysunku tylko w ten sposób:
\(\displaystyle{ A=\left\{ (x _{1}, x _{2}) \in R^{2}:x _{1}+x _{2} \le 2; x _{1}^{2}+3 x _{2}^{2}<1 \right\}}\)
\(\displaystyle{ x=\left( x _{1},x _{2}\right),y=\left(y _{1}, y _{2}\right)}\)
\(\displaystyle{ x,y \in A \Rightarrow \alpha _{1}x+ \alpha _{2}y \in A: \alpha _{1}, \alpha _{2} \ge 0}\)
\(\displaystyle{ A _{1} =\left\{ (x _{1}, x _{2}) \in R^{2}:x _{1}+x _{2} \le 2 \right\}}\)
\(\displaystyle{ A _{2} = \left\{ (x _{1}, x _{2}) \in R^{2}: x _{1}^{2}+3 x _{2}^{2}<1 \right\}}\)
\(\displaystyle{ \alpha _{1}x+ \alpha _{2}y= \alpha _{1}(x _{1}, x _{2})+ \alpha _{2} (y _{1}, y _{2})=( \alpha _{1}x _{1}+ \alpha _{2}y _{1},\alpha _{1}x _{2}+ \alpha _{2}y _{2})=B}\)

1.Czy \(\displaystyle{ B \in A_{1}?}\)
\(\displaystyle{ x \in A _{1} \Rightarrow x _{1}+x _{2} \le 2}\)
\(\displaystyle{ y \in A _{1} \Rightarrow y _{1}+y _{2} \le 2}}\)
\(\displaystyle{ \alpha _{1}x _{1}+ \alpha _{2}y _{1}+\alpha _{1}x _{2}+ \alpha _{2}y _{2} \le 2}\)
\(\displaystyle{ \alpha _{1}\left( x _{1}+x _{2}\right)+ \alpha _{2}\left( y _{1}+y _{2}\right) \le 2}\)
\(\displaystyle{ 2 \alpha _{1}+2 \alpha _{2} \le 2}\)
\(\displaystyle{ \alpha _{1}+ \alpha _{2} \le 1}\) prawda
1.Czy \(\displaystyle{ B \in A_{2}?}\)
\(\displaystyle{ x \in A _{2} \Rightarrow x _{1}^{2}+3 x _{2}^{2}<1}\)
\(\displaystyle{ y \in A _{2} \Rightarrow y _{1}^{2}+3 y _{2}^{2}<1}\)
\(\displaystyle{ (\alpha _{1}x _{1}+ \alpha _{2}y _{1})^{2}+3 (\alpha _{1}x _{2}+ \alpha _{2}y _{2})^{2}<1}\)
\(\displaystyle{ \alpha _{1} ^{2}(x_{1} ^{2}+3x_{2} ^{2})+ \alpha_{2} ^{2}(y _{1} ^{2}+3y_{2} ^{2})+2 \alpha _{1} \alpha _{2}(x_{1}y_{1}+x _{2}y_{2})<1}\)
i teraz nie wiem co z tym zrobic, a w drugim przykladzie mam problem bo nie wiem czy tutaj wziac sobie trzy lambdy czy tak jak mowi definicja dwie?

Mam to z programowania nieliniowego i do końca nie wiedziałam gdzie to umieścić.

[Psiaczek]

W tym drugim przykładzie to ja bym wziął dwa punkty np. \(\displaystyle{ (1,0,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (-1,0,0)}\) widać że oba należą do A i pokazał że środek odcinka które je łączy czyli punkt \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) tam nie należy, więc A wypukły być nie może.

[marlenka111]

Aha ok to ja już wiem mniej więcej o co chodzi w tym drugim przykładzie, bo ja to muszę zrobić według wzoru którym zrobiłam powyżej połowę pierwszego przykładu i w sumie ten drugi mi już wyszedł, ale dalej mam problem z tym pierwszym, jak mogę poprzekształcać tę nierówność aby mi wyszło że jest to zbiór wypukły?

[szw1710]

W pierwszym przykładzie stosujesz złą definicję zbioru wypukłego. Skalary muszą się sumować do jedynki: \(\displaystyle{ \alpha_1+\alpha_2=1}\) oraz oczywiście \(\displaystyle{ \alpha_1,\alpha_2\ge 0}\). Tak jak napisałaś, mamy definicję stożka wypukłego. Każdy stożek wypukły jest zbiorem wypukłym, ale nie na odwrót: nie każdy zbiór wypukły jest stożkiem. Twój zbiór nie jest stożkiem.

Nierówności przekształca się mniej więcej tak jak pokazuje się z definicji wypukłości funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\). Zrób to jako ćwiczenie. Pokaż, że dla każdych \(\displaystyle{ x,y\in\mathbb{R}}\) oraz dla każdych \(\displaystyle{ \alpha_1,\alpha_2\ge 0}\) takich, że \(\displaystyle{ \alpha_1+\alpha_2=1}\), zachodzi nierówność

\(\displaystyle{ (\alpha_1x+\alpha_2y)^2\le\alpha_1x^2+\alpha_2y^2}\).

Gotowca nie dam

Od początku nie myślałem o dowodzeniu za pomocą rysunku. Rysunek służy zawsze nabyciu intuicji, zobaczeniu jak rzeczy wyglądają naprawdę. Gdy się coś widzi, to łatwiej potem rozumować abstrakcyjnie. Badając jakiś problem zawsze staram się sobie go unaocznić. Zakładając jakiś poziom kultury matematycznej wydawało mi się oczywiste, że wiesz, że po zrobieniu rysunku należy przeprowadzić formalny dowód.

[marlenka111]

Ok to to mniej więcej będzie tak:
\(\displaystyle{ ( \alpha _{1}x+ \alpha _{2}y) ^{2} \le\alpha _{1}x ^{2} + \alpha _{2}y ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \alpha _{1} ^{2} x ^{2}+2\alpha _{1}x \alpha _{2}y+\alpha _{2} ^{2} y ^{2} \le \alpha _{1}x ^{2} + \alpha _{2}y ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \alpha _{1} ^{2} x ^{2}+2\alpha _{1}x(1- \alpha _{1})y+(1- \alpha _{1}) ^{2} y ^{2} \le \alpha _{1}x ^{2} +(1- \alpha _{1})y ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \alpha _{1} ^{2} x ^{2}-\alpha _{1}x ^{2}+2 \alpha _{1}xy- 2 \alpha _{1} ^{2} xy- \alpha _{1}y ^{2}+ \alpha _{1} ^{2} y ^{2} \le 0}\)
\(\displaystyle{ ( \alpha _{1}-1) \alpha _{1}( x^{2}-2xy+y ^{2}) \le 0}\)
\(\displaystyle{ ( \alpha _{1}-1) \alpha _{1}(x-y)^{2} \le 0}\) prawda
Udowodniłam tę nierówność i teraz starałam się w podobny sposób zrobić dokończenie tego przykładu i mam cos takiego:
\(\displaystyle{ (1- \alpha _{1})(x _{1} ^{2}+3x _{2} ^{2}+y _{1} ^{2}+3 y _{2} ^{2}- \alpha _{1}( x _{1} ^{2}+3x _{2} ^{2}+y _{1} ^{2}+3 y _{2} ^{2}+2x _{2}y _{2}+2 x_{1}y _{1})<1}\)
Ale tutaj mi wszytsko psuja te dwójki przy x i y

[szw1710]

No to pokombinować musisz. Innej metody za bardzo nie widzę, bo tam są kwadraty. Może zapisz, co CI ma zostać i skonfrontuj z tym, od czego zaczęłaś. Ja nie mam tu gotowej recepty i przeliczonego przykładu, bo to nie moje zadanie, a Twoje . Ale tak bym to robił i tym się mogę podzielić.

Cieszy mnie, że wykazałaś samodzielnie wypukłość funkcji kwadratowej. To początek, od którego zaczyna się kurs analizy wypukłej.