Ortogonalność wektorów, iloczyn skalarny - udowadnianie tw.

[wdr]

Witam,
mam problem z udowodnieniem kilku twierdzeń:

1. Udowodnij w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}}\), ze jeśli \(\displaystyle{ \vec{a}}\) jest jednoczesnie ortogonalny do wektorów: \(\displaystyle{ \vec{b}}\) i \(\displaystyle{ \vec{c}}\) to jest on ortogonalny do dowolnej kombinacji liniowej tych wektorów.

2. Udowodnij w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}}\) że \(\displaystyle{ \vec{a}}\) jest ortogonalny do wektora: \(\displaystyle{ \vec{b} - proj_{\vec{a}}(\vec{b})}\)

3. Udowodnij: \(\displaystyle{ \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \circ \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \circ \vec{b}) \vec{c}}\)

Z góry dzięki za wskazówki i pomoc.

[miki999]

Przecież to od razu leci z definicji. Spróbowałeś chociaż cokolwiek zrobić?

[wdr]

Przecież to od razu leci z definicji. Spróbowałeś chociaż cokolwiek zrobić?

Gdybym nie próbował, to bym tu nie pisał, proste. Skoro to tak trywialne, to możesz podzielić się swoją wiedzą i wskazać z której definicji to tak od razu leci, byłbym wdzięczny.

[miki999]

No to lecimy:
1) skorzystaj z definicji ortogonalności (warunku na ortogonalność w przestrzeni wyposażonej w iloczyn skalarny- gdyby coś budziło wątpliwości).

[wdr]

No to lecimy:
1) skorzystaj z definicji ortogonalności (warunku na ortogonalność w przestrzeni wyposażonej w iloczyn skalarny- gdyby coś budziło wątpliwości).

Ok, mam :] Iloczyny skalarne \(\displaystyle{ \vec{a} \circ \vec{b}}\) i \(\displaystyle{ \vec{a} \circ \vec{c}}\) można zapisać jako sumę \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} a_n*b_n}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} a_n*c_n}\), i oba są równe zero. Dowolną kombinację liniową \(\displaystyle{ \vec{b}}\) i \(\displaystyle{ \vec{c}}\) opisuję jako:

\(\displaystyle{ [xb_1 + yc_1 , xb_2 +yc_2 , ... , xb_n + yc_n]}\)

a jej iloczyn skalarny z wektorem \(\displaystyle{ \vec{a}}\) jest równy:

\(\displaystyle{ a_1(xb_1 + yc_1) + a_2(xb_2 + yc_2) + ... + a_n(xb_n + yc_n) =
x(a_1*b_1 + a_2*b_2 +...+ a_n*b_n) + y(a_1*c_1 + a_2*c_2 +...+ a_n*c_n) = x(\sum_{k=1}^{n} a_n*b_n) + y(\sum_{k=1}^{n} a_n*c_n) = x*0 + y+0 = 0}\)
Czyli jest ortogonalny. Czy to jest poprawne?

[miki999]

Wygląda ok.

Leć kolejne.

[wdr]

Wygląda ok.

Leć kolejne.

Nie jestem pewny swojego sposobu rozwiązywania, ale doszedłem do czegoś takiego:

\(\displaystyle{ \vec{b} -proj_{\vec{a}} \vec{b} = \vec{b} - \vec{a} * \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{\vec{a} \circ \vec{a}}}\)

A więc iloczyn skalarny tego z wektorem \(\displaystyle{ \vec{a}}\) zgodnie z zasadą rozdzielności:

\(\displaystyle{ \vec{a} \circ (\vec{b} - \vec{a} * \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{\vec{a} \circ \vec{a}}) = \vec{a} \circ \vec{b} - \vec{a}

\circ (\vec{a} * \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{\vec{a} \circ \vec{a}}) = \vec{a} \circ \vec{b} - \vec{a} \circ \vec{b} (\frac{\vec{a} \circ \vec{a}}{\vec{a} \circ \vec{a}}) = \vec{a} \circ \vec{b} - \vec{a} \circ \vec{b} = 0}\)
A więc jest ortogonalny.

Jeśli chodzi o zadanie trzecie to edytowałem treść (źle przepisałem) zamiast \(\displaystyle{ \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})}\)

było tam \(\displaystyle{ \vec{a} \circ (\vec{b} \times \vec{c})}\), mimo to nadal nie wiem z której strony się za to wziąć. Zapisując

prawą stronę jako wektory składające się z sum \(\displaystyle{ b_n(\vec{a} \circ \vec{c})}\) i \(\displaystyle{ c_n(\vec{a} \circ \vec{b})}\) nie dochodzę do

żadnego sensownego wyniku. Od czego zacząć żeby coś z tym zrobić?

[miki999]

żadnego sensownego wyniku. Od czego zacząć żeby coś z tym zrobić?

A to już jest w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\)? W takim razie na chama można.

[wdr]

żadnego sensownego wyniku. Od czego zacząć żeby coś z tym zrobić?

A to już jest w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\)? W takim razie na chama można.

Nie mam podane w treści zadania, więc nie wiem, można tak przyjąć?

[miki999]

Myślę, że tak. Chyba że istnieje iloczyn wektorowy w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\), ale ja o takim nie słyszałem (teraz na wikipedii widzę, że jest, ale raczej nie chodzi o to).