wykaz wektorów

[1991akinom]

Korzystając z prostokątnego układu współrzędnych wykaż, że:
\(\displaystyle{ i \times i = j \times j = k \times k = 0}\)
oraz

\(\displaystyle{ i \times j = k ,\ k \times i = j ,\ j \times k = i}\)

Wykaż korzystając z układu współrzędnych kartezjańskich, że
\(\displaystyle{ i \circ i = j\circ j = k \circ k = 1}\)
oraz
\(\displaystyle{ i \circ j = j \circ k = k \circ i = 0}\)

wiem, ze tak jest, ale proze mi to wytlumaczyc, jesli mozna, a nie pisac od razu, ze tak jest i tyle

[janusz47]

a)Jedna z definicji iloczynu wektorowego dwóch wektorów:
\(\displaystyle{ \vec{a}\times \vec{b} = |\wec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \sin(\vec{a},\vec{b}).}\)
b) Jedna z definicji iloczynu skalarnego dwóch wektorów:
\(\displaystyle{ \vec{a}\cdot \vec{b} = |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos(\vec{a},\vec{b}).}\)

[joe74]

a)Jedna z definicji iloczynu wektorowego dwóch wektorów:
\(\displaystyle{ \vec{a}\times \vec{b} = |\wec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \sin(\vec{a},\vec{b})}\)

Ten wzór powinien wyglądać tak:

\(\displaystyle{ \left| \vec{a}\times \vec{b}\right| = |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \sin \sphericalangle (\vec{a},\vec{b})}\)

bo

\(\displaystyle{ \vec{a}\times \vec{b} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{ i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a _{x} & a _{y} & a _{z}\\ b _{x} & b _{y} & b _{z} \end{array}\right| = wektor, \ a \ nie \ liczba \ (skalar)}\)

******************************************************************************************

Wykorzystaj zależności:

\(\displaystyle{ \vec{i} = \left[ 1,0,0\right] \ \ \ \vec{j} = \left[ 0,1,0\right] \ \ \ \vec{k} = \left[ 0,0,1\right]}\)

\(\displaystyle{ \vec{a}\times \vec{b} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{ i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a _{x} & a _{y} & a _{z}\\ b _{x} & b _{y} & b _{z} \end{array}\right|}\)

\(\displaystyle{ \vec{a} \cdot \vec{b} = a _{x} \cdot b _{x} + a _{y} \cdot b _{y} + a _{z} \cdot b _{z}}\)

Być może trzeba np. dla przypadków typu

\(\displaystyle{ \vec{i} \times \vec{i} = 0}\)

napisać, że jest to mnożenie wektorowe wektorów równoległych,

zaś dla przypadków np.

\(\displaystyle{ \vec{i} \times \vec{k} = \ - \ \vec{j}}\)

napisać, że jest to mnożenie wersorów osi prostopadłych do siebie, w ściśle określonej kolejności,

a z kolei w przypadkach typu

\(\displaystyle{ \vec{i} \cdot \vec{i} = 1}\)

zaznaczyć, że mamy mnożenie skalarne wektorów równoległych, których długości w każdym przypadku są równe 1,

a w przypadkach takich jak

\(\displaystyle{ \vec{j} \cdot \vec{k} = 0}\)

wyjaśnić, że jest to mnożenie skalarne wektorów prostopadłych.

Te słowne wyjasnienia opierają się na wzorach podanych przez użytkownika janusza47, ale można zastosować wzory:

\(\displaystyle{ \vec{a}\times \vec{b} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{ i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a _{x} & a _{y} & a _{z}\\ b _{x} & b _{y} & b _{z} \end{array}\right|}\)

\(\displaystyle{ \vec{a} \cdot \vec{b} = a _{x} \cdot b _{x} + a _{y} \cdot b _{y} + a _{z} \cdot b _{z}}\)

\(\displaystyle{ \vec{i} = \left[ 1,0,0\right] \ \ \ \vec{j} = \left[ 0,1,0\right] \ \ \ \vec{k} = \left[ 0,0,1\right]}\)

i wtedy nic nie trzeba już wyjaśniać słownie