Znaleźć rzut punktu P na prostą

[Loki123]

Witam, bardzo bym prosił o rozwiązanie lub nakierowanie w rozwiązaniu tego zadani, z góry bardzo dziękuję!

Znaleźć rzut punktu\(\displaystyle{ P(5,3,2)}\) na prostą

\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x=1+2t \\ y=2-t \\ z=3+t \end{cases}}\)

[lukasz1804]

Por. 200558.htm

[Crizz]

Możesz też spróbować znaleźć taki wektor \(\displaystyle{ \vec{AP}}\), że \(\displaystyle{ A\in l}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{AP} \perp l}\). Wystarczy Ci równanie prostej oraz własności iloczynu skalarnego.

[Loki123]

Napisałem równanie płaszczyzny prostopadłej do podanej prostej i przechodzącej przez podany punkt. Czy szukany rzut to punkt wspólny prostej i płaszczyzny?

\(\displaystyle{ \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-3}{1}

\pi : A(x-x _{0}) +B(y-y _{0}) +C(z-z _{0} )=0 \\
\pi : 2(x-5) -1(y-3) +1(z-2 )=0\\
2x-10-y+3+z-2=0\\
2x-y+z-9=0}\)
i czy ten punkt to będą współrzędne przy x, y, z ? czyli A(2,-1,1) ? Z góry dzięki za odpowiedź, z powyższego linku nie bardzo skorzystałem bo wydaje mi się, że inne są te zadania, jeśli się mylę proszę o rozwiązanie lub bliższe nakierowanie.
Pozdrawiam

[Crizz]

Tak.

A czemu miałyby to być współrzędne przy \(\displaystyle{ x,y,z}\)? Podstaw przepisy na \(\displaystyle{ t}\) do równania płaszczyzny, wyznacz \(\displaystyle{ t}\), wstaw do równania prostej i masz szukany punkt.

[Loki123]

\(\displaystyle{ 2(1+t)-(2-t)+(3+t)\\2+t-2+t+3+t=0\\t=-1 \\ l: \begin{cases} x=1+2(-1) \\ y=2-(-1) \\ z=3+(-1) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=-1 \\ y=3 \\ z=2 \end{cases}}\)
Czyli szukany punkt ma współrzędne: \(\displaystyle{ A(-1,3,2)}\) Zgadza się?