mając prostą
\(\displaystyle{ x-y+2=0}\)
mam podać jej opis parametryczny oraz równanie w postaci wektorowej.
Co to właściwie jest opis parametryczny, czy mogłby mi ktos wyjasnic ?
Opis parametryczny wyjaśnienie
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Opis parametryczny wyjaśnienie
Masz równanie prostej (lub ogólnie: krzywej), w którym występują \(\displaystyle{ x,y}\). Takie równanie gwarantuje Ci, że jeśli znajdziesz wszystkie możliwe \(\displaystyle{ (x,y)}\), które spełniają to równanie, to otrzymasz tym samym wszystkie punkty krzywej.
Równanie parametryczne to trochę inne podejście: masz dwa równania \(\displaystyle{ x=x(t),y=y(t)}\) oraz zbiór (najczęściej przedział) \(\displaystyle{ T}\), do którego należy \(\displaystyle{ t}\). Tutaj masz inną gwarancję: jeśli podstawisz wszystkie wartości ze zbioru \(\displaystyle{ T}\) za zmienną \(\displaystyle{ t}\) w tych równaniach, to otrzymasz wszystkie punkty krzywej.
Przykład: równanie (postać uwikłana) okręgu: \(\displaystyle{ (x-1)^2+y^2=4}\).
Ten sam okrąg - równanie w postaci parametrycznej: \(\displaystyle{ x(t)=1+2\cos t,y(t)=2\sin t, t \in <0,2\pi)}\).
Możesz sprawdzić, że podstawiając różne \(\displaystyle{ x,y}\) do pierwszego równania, będziesz otrzymywać różne punkty okręgu. To samo nastąpi, gdy będziesz podstawiać różne wartości \(\displaystyle{ t}\) do drugiego równania.
Nie ma prostej i jednocześnie uniwersalnej metody wyznaczania takiego równania. Najczęściej trzeba to robić na logikę. Trzeba znaleźć sposób, żeby zarówno \(\displaystyle{ x}\), jak i \(\displaystyle{ y}\) umieć opisać funkcją parametru \(\displaystyle{ t}\). W przypadku prostej jest to w miarę łatwe: możemy przyjąć \(\displaystyle{ x(t)=t}\), wtedy \(\displaystyle{ t-y+2=0}\), czyli \(\displaystyle{ y(t)=t+2}\). Normalnie, żeby otrzymać wszystkie punkty prostej, musielibyśmy za \(\displaystyle{ x}\) podstawić wszystkie liczby rzeczywiste. Ponieważ przyjęliśmy, że \(\displaystyle{ x=t}\), to oczywiście \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\), czyli ostatecznie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t \\ y=t+2 \end{cases} ,t\in\mathbb{R}}\).-- 22 października 2011, 20:46 --Można do tego równania dojść inaczej: weźmy dowolny punkt prostej, np. \(\displaystyle{ A(0,2)}\), oraz wektor równoległy do tej prostej, np. \(\displaystyle{ \vec{u_0}=(1,1)}\). Wtedy \(\displaystyle{ \vec{OA}=[0,2]}\). Dodając dowolny wektor równoległy do \(\displaystyle{ \vec{u_0}}\), do wektora \(\displaystyle{ \vec{OA}}\), otrzymamy wektor, który, zaczepiony w punkcie O, trafi swoim końcem w pewien punkt prostej. Jeśli dodamy wszystkie takie wektory, otrzymamy całą prostą. Zauważamy przy tym, że wszystkie wektory równoległe do \(\displaystyle{ \vec{u_0}}\) można opisać jako \(\displaystyle{ t\vec{u_0},t\in\mathbb{R}}\). Wszystkie wektory, jakie w ten sposób otrzymamy, możemy opisać równaniem \(\displaystyle{ \vec{u}=t\vec{u_0}+\vec{OA}}\), czyli \(\displaystyle{ \vec{u}=t \cdot [1,1]+[0,2]}\)
Rysunek:
Uploaded with
Powyższe równanie to właśnie równanie prostej w postaci wektorowej.
Współrzędne wektora \(\displaystyle{ \vec{u}}\) są jednocześnie współrzędnymi punktu prostej, czyli \(\displaystyle{ [x,y]=t[1,1]+[0,2]}\). Możemy (korzystając z działań na wektorach zapisać \(\displaystyle{ [x,y]=[t,t+2]}\), co oznacza, że:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t \\ y=t+2 \end{cases}}\)
i otrzymaliśmy to samo równanie, co wcześniej, Zauważ, że mogliśmy wziąć inny punkt \(\displaystyle{ A}\) lub inny wektor \(\displaystyle{ \vec{u_0}}\), wtedy to równanie wyglądałoby inaczej, ale byłoby poprawne. Metodę przejścia od postaci parametrycznej do postaci wektorowej możesz spróbować sam wydedukować.
Równanie parametryczne to trochę inne podejście: masz dwa równania \(\displaystyle{ x=x(t),y=y(t)}\) oraz zbiór (najczęściej przedział) \(\displaystyle{ T}\), do którego należy \(\displaystyle{ t}\). Tutaj masz inną gwarancję: jeśli podstawisz wszystkie wartości ze zbioru \(\displaystyle{ T}\) za zmienną \(\displaystyle{ t}\) w tych równaniach, to otrzymasz wszystkie punkty krzywej.
Przykład: równanie (postać uwikłana) okręgu: \(\displaystyle{ (x-1)^2+y^2=4}\).
Ten sam okrąg - równanie w postaci parametrycznej: \(\displaystyle{ x(t)=1+2\cos t,y(t)=2\sin t, t \in <0,2\pi)}\).
Możesz sprawdzić, że podstawiając różne \(\displaystyle{ x,y}\) do pierwszego równania, będziesz otrzymywać różne punkty okręgu. To samo nastąpi, gdy będziesz podstawiać różne wartości \(\displaystyle{ t}\) do drugiego równania.
Nie ma prostej i jednocześnie uniwersalnej metody wyznaczania takiego równania. Najczęściej trzeba to robić na logikę. Trzeba znaleźć sposób, żeby zarówno \(\displaystyle{ x}\), jak i \(\displaystyle{ y}\) umieć opisać funkcją parametru \(\displaystyle{ t}\). W przypadku prostej jest to w miarę łatwe: możemy przyjąć \(\displaystyle{ x(t)=t}\), wtedy \(\displaystyle{ t-y+2=0}\), czyli \(\displaystyle{ y(t)=t+2}\). Normalnie, żeby otrzymać wszystkie punkty prostej, musielibyśmy za \(\displaystyle{ x}\) podstawić wszystkie liczby rzeczywiste. Ponieważ przyjęliśmy, że \(\displaystyle{ x=t}\), to oczywiście \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\), czyli ostatecznie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t \\ y=t+2 \end{cases} ,t\in\mathbb{R}}\).-- 22 października 2011, 20:46 --Można do tego równania dojść inaczej: weźmy dowolny punkt prostej, np. \(\displaystyle{ A(0,2)}\), oraz wektor równoległy do tej prostej, np. \(\displaystyle{ \vec{u_0}=(1,1)}\). Wtedy \(\displaystyle{ \vec{OA}=[0,2]}\). Dodając dowolny wektor równoległy do \(\displaystyle{ \vec{u_0}}\), do wektora \(\displaystyle{ \vec{OA}}\), otrzymamy wektor, który, zaczepiony w punkcie O, trafi swoim końcem w pewien punkt prostej. Jeśli dodamy wszystkie takie wektory, otrzymamy całą prostą. Zauważamy przy tym, że wszystkie wektory równoległe do \(\displaystyle{ \vec{u_0}}\) można opisać jako \(\displaystyle{ t\vec{u_0},t\in\mathbb{R}}\). Wszystkie wektory, jakie w ten sposób otrzymamy, możemy opisać równaniem \(\displaystyle{ \vec{u}=t\vec{u_0}+\vec{OA}}\), czyli \(\displaystyle{ \vec{u}=t \cdot [1,1]+[0,2]}\)
Rysunek:
Uploaded with
Powyższe równanie to właśnie równanie prostej w postaci wektorowej.
Współrzędne wektora \(\displaystyle{ \vec{u}}\) są jednocześnie współrzędnymi punktu prostej, czyli \(\displaystyle{ [x,y]=t[1,1]+[0,2]}\). Możemy (korzystając z działań na wektorach zapisać \(\displaystyle{ [x,y]=[t,t+2]}\), co oznacza, że:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t \\ y=t+2 \end{cases}}\)
i otrzymaliśmy to samo równanie, co wcześniej, Zauważ, że mogliśmy wziąć inny punkt \(\displaystyle{ A}\) lub inny wektor \(\displaystyle{ \vec{u_0}}\), wtedy to równanie wyglądałoby inaczej, ale byłoby poprawne. Metodę przejścia od postaci parametrycznej do postaci wektorowej możesz spróbować sam wydedukować.