Równanie stycznych do okręgu

[RaMzik]

Witam,
oto zadanie:

Napisz równanie stycznych do okręgu o równaniu: \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=4}\) przechodzących przez punkt \(\displaystyle{ P=(0,4)}\)

Moje rozwiązanie:
Ze wzoru \(\displaystyle{ y-y_{o}=a(x-x_{o})}\) wyznaczyłem równanie prostych przechodzących przez punkt P. To równanie to:
\(\displaystyle{ y=ax+4 \Leftrightarrow ax-y+4=0}\)
Następnie stwierdziłem, że skoro proste te są styczne do okręgu, to każda z nich ma z nim jeden punkt wspólny. Zapisałem równość:
\(\displaystyle{ d(S,l)=r}\) , gdzie r - promień, S - środek okręgu i l - prosta
Z tego wynika, że:
\(\displaystyle{ \frac{\left|A_{xo}+B_{yo}+C \right| }{ \sqrt{A^{2}+B^{2} } } = 2}\)
Dalej wyliczyłem współczynnik a i mój ostateczni wynik to:
\(\displaystyle{ l_{1}= \sqrt{3}x+4}\)
\(\displaystyle{ l_{2}= -\sqrt{3}x+4}\)

Czy takie rozwiązanie jest poprawne? Za sprawdzenie i ewentualne poprawki byłbym bardzo wdzięczny.

Z góry dziękuję

[mat_61]

Z tego co widzę to wszystko jest OK. Co najwyżej należałoby poprawić Twoje uzasadnienie:

Następnie stwierdziłem, że skoro proste te są styczne do okręgu, to każda z nich ma z nim jeden punkt wspólny. Zapisałem równość...

Oczywiście to stwierdzenie jest jak najbardziej prawdziwe, ale w swoim rozwiązaniu skorzystałeś z tego, że odległość środka okręgu od jego stycznej jest równa promieniowi okręgu (chyba, że to był taki większy skrót myślowy )

Gdybyś natomiast chciał wprost skorzystać z tego co napisałeś, to należałoby do równania okręgu:

\(\displaystyle{ x^2+y^2=4}\)

wstawić \(\displaystyle{ y=ax+4}\)

i sprawdzić kiedy równanie:

\(\displaystyle{ x^2+(ax+4)^2=4}\)

ma jedno rozwiązanie.

[RaMzik]

Tak, był to jak najbardziej skrót myślowy, bo oczywiście skorzystałem z tego, że odległość środka okręgu od prostej stycznej do tego okręgu jest równa jego promieniowi - dokładnie tak, jak napisałeś. Dziękuję za zwrócenie na to uwagi i sprawdzenie

Pozdrawiam