Cosinus kąta jaki tworzy suma i różnica wektorów.

[kenneth]

Niech wektory u i v o długościach \(\displaystyle{ \left| \vec{u} \right|=1 i \left| \vec{v} \right| =2}\) tworzą kąt \(\displaystyle{ \sphericalangle ( \vec{u}, \vec{v} )=120}\). Obliczyć cosinus kąta \(\displaystyle{ \sphericalangle (2 \vec{u}- \vec{v},2 \vec{u}+3 \vec{v})}\).
Chciałem skorzystać z definicji iloczynu skalarnego, ale nie wiem jak policzyć długość wektorów: \(\displaystyle{ 2\vec{u}- \vec{v},2 \vec{u}+3 \vec{v}}\).

[Chromosom]

Wiadomo, że

\(\displaystyle{ \frac{\vec u\cdot\vec v}{\bigl|\vec u\bigr|\bigl|\vec v\bigr|}=\cos\alpha}\)

gdzie \(\displaystyle{ \alpha=\frac23\pi}\). Należy znaleźć wartość kąta \(\displaystyle{ \beta}\), gdzie

\(\displaystyle{ \beta=\arccos\frac{\left(2\vec u-\vec v\right)\cdot\left(2\vec u+3\vec v\right)}{\bigl|2\vec u-\vec v\bigr|\bigl|2\vec u+3\vec v\bigr|}}\)

długość sumy wektorów obliczysz na podstawie twierdzenia cosinusów.

[kenneth]

Dzięki, ale nie o tę część zadania mi chodziło. To jest dla mnie oczywiste, dlatego zapytałem w tytule i w treści jak policzyć długość sumy. Jaki kąt wybrać przy różnicy wektorów?

[Chromosom]

długość sumy wektorów obliczysz na podstawie twierdzenia cosinusów.

kąt \(\displaystyle{ \frac23\pi}\)

[kenneth]

Przy sumie również?

[Chromosom]

tak

[kenneth]

Mam dwa takie same zadania i w żadnym po wykonaniu takich obliczeń odpowiedź się nie zgadza. W jednym zadaniu licznik pasuje z iloczynu skalarnego, ale mianownik, w którym występują iloczyny szukanych długości się nie zgadza. Chyba nie do końca tak liczy się tę długość.

[joe74]

Ja mam propozycje polożenia osi Ox wzdłuż jednego z wektorów, np. \(\displaystyle{ \vec{u}}\), a oś Oy połozyć prostopadle do wektora \(\displaystyle{ \vec{u}}\), i w takim układzie współrzędnych opisać wektor \(\displaystyle{ \vec{v}}\), oraz pozostałe: \(\displaystyle{ 2\vec{u}}\) oraz \(\displaystyle{ 3 \vec{v}}\), i dalej wszystko czytelnie, na współrzędnych wektorów.