Parametryzacja okręgu

[pigwabest]

Muszę sparametryzować taki okrąg jak na obrazku. Jednak z kątem takim jak jest zaznaczony na obrazku, czyli taka parametryzacja to nie to o co chodzi:

\(\displaystyle{ x=R\sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ y=R+R\cos \alpha}\)



Proszę o pomoc.

[miodzio1988]

No nie jest zbytnio ok. Jaki jest środek tego okręgu? Jaki promień? Zapisz matematycznie równanie tego okręgu

[szw1710]

Piszemy równanie okręgu: \(\displaystyle{ x^2+(y-1)^2=1}\) czyli \(\displaystyle{ x^2+y^2=2y.}\) Wprowadzamy współrzędne "biegunowe":

\(\displaystyle{ x=r\sin\alpha,\quad y=r\cos\alpha}\)

Wstawiając do równania kartezjańskiego dostaniemy \(\displaystyle{ r^2=2r\cos\alpha.}\) Zakładając \(\displaystyle{ r>0}\) mamy więc \(\displaystyle{ r=2\cos\alpha}\). TO jest równanie okręgu we współrzędnych biegunowych. Sęk w tym, że promień wodzący zmienia się, jeśli współrzędne biegunowe wprowadzimy tak jak rysujesz. Lepiej wprowadzić biegun w punkcie \(\displaystyle{ (0,1)}\).

[pigwabest]

To znaczy potrzebuje konkretnie parametryzacji, gdy okrąg położony jest tak jak na rysunku i kąt się zmienia od \(\displaystyle{ -\pi/2}\) do \(\displaystyle{ \pi/2}\)