Znajdź równanie prostej, przechodzącej przez początek układu współrzędnych, stycznej do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)=16x^{2}+\frac{1}{x}}\)
Właściwie wiadomo o co chodzi ale mam problem z wyznaczeniem takiego a będącego jednocześnie współczynnikiem kierunkowym naszej prostej, że równanie:
\(\displaystyle{ 16x^{3}-ax^{2}+1=0}\)
Ma tylko jeno rozwiązanie, co jest oczywiście warunkiem istnienia stycznej do rozpatrywanego wykresu funkcji.
Odpowiedź orzeka, iż a=12, ale jak wysnuć owe rozwiązanie.
Styczna do wykresu
-
bartholdy
- Użytkownik
- Posty: 158
- Rejestracja: 14 gru 2006, o 19:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 49 razy
Styczna do wykresu
Współczynnik kierunkowy:
\(\displaystyle{ f^\prime (x) = 32x-\frac{1}{x^2} = a}\)
Punkt styczności:
\(\displaystyle{ 16x^3-(32x-\frac{1}{x^2})\cdot x^2+1=0\\
x^3 = \frac{1}{8}\quad\Rightarrow\quad x = \frac{1}{2}\\}\)
Z tego...
\(\displaystyle{ a = 32\cdot\frac{1}{2}-\frac{1}{(\frac{1}{2})^2} = 12}\)
\(\displaystyle{ f^\prime (x) = 32x-\frac{1}{x^2} = a}\)
Punkt styczności:
\(\displaystyle{ 16x^3-(32x-\frac{1}{x^2})\cdot x^2+1=0\\
x^3 = \frac{1}{8}\quad\Rightarrow\quad x = \frac{1}{2}\\}\)
Z tego...
\(\displaystyle{ a = 32\cdot\frac{1}{2}-\frac{1}{(\frac{1}{2})^2} = 12}\)