Wektory w przestrzeni (dowód)

[Siemion92]

Wektory \(\displaystyle{ A=A _{x}i+A _{y}j+A _{z}k}\) i \(\displaystyle{ B=B _{x}i+B _{y}j+B _{z}k}\) dodano do siebie. Wykazać, że długość wektora będącego ich sumą nie może być większa niżsuma ich długości, ani mniejsza niż wartość bezwzględna ich różnicy.

I robię to tak:
\(\displaystyle{ A+B=(A _{x}+B _{x})i+(A _{y}+B _{y})j+(A _{z}+B _{z})k}\)

\(\displaystyle{ |A+B|= \sqrt{(A _{x}+B _{x}) ^{2}+(A _{y}+B _{y}) ^{2}+(A _{z}+B _{z}) ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ |A|+|B|= \sqrt{A _{x} ^{2}+A _{y} ^{2}+A _{z} ^{2}}+ \sqrt{B _{x} ^{2}+B _{y} ^{2}+B _{z} ^{2}}}\)

\(\displaystyle{ |A-B|= \sqrt{(A _{x}-B _{x}) ^{2}+(A _{y}-B _{y}) ^{2}+(A _{z}-B _{z}) ^{2} }}\)

I teraz układam nierówność:
\(\displaystyle{ |A|+|B| \ge|A+B| \ge|A-B|}\)

I potem jak rozpisuje te nierówności na dwie i podnoszę do kwadratu i redukuję to mi nic sensownego nie wychodzi. Bardzo proszę o pomoc.

[octahedron]

\(\displaystyle{ |A+B|^2= (A _{x}+B _{x}) ^{2}+(A _{y}+B _{y}) ^{2}+(A _{z}+B _{z}) ^{2} =\\\\
= A_{x}^{2}+2A_xB_x+B_{x}^{2}+A_{y}^{2}+2A_yB_y+B_{y}^{2}+A _{z}^{2}+2A_zB_z+B _{z} ^{2} =\\\\
= (A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A _{z}^{2})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B _{z} ^{2})+2(A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z)=\\\\
=|A|^2+|B|^2+2(A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z)\\\\
(|A|+|B|)^2=|A|^2+|B|^2+2|A||B|\\\\
(|A||B|)^2-(A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z)^2=(A_x^2+A_y^2+A_z^2)(B_x^2+B_y^2+B_z^2)-\\\\-(A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z)^2=\\\\=A_x^2B_x^2+A_x^2B_y^2+A_x^2B_z^2+A_y^2B_x^2+A_y^2B_y^2+
A_y^2B_z^2+A_z^2B_x^2+A_z^2B_y^2+A_z^2B_z^2-\\\\
-A_x^2B_x^2-A_y^2B_y^2-A_z^2B_z^2-2A_xB_xA_yB_y-2A_xB_xA_zB_z-2A_yB_yA_zB_z=\\\\
=A_x^2B_y^2-2A_xB_xA_yB_y+A_y^2B_x^2+A_x^2B_z^2-2A_xB_xA_zB_z+A_z^2B_x^2+\\\\
+A_y^2B_z^2-2A_yB_yA_zB_z+A_z^2B_y^2=\\\\
=(A_xB_y-A_yB_x)^2+(A_xB_z-A_zB_x)^2+(A_yB_z-A_zB_y)^2\ge 0 \Rightarrow \\\\
\Rightarrow (|A||B|)^2\ge (A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z)^2 \Rightarrow |A||B|\ge (A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z) \Rightarrow \\\\
\Rightarrow |A|^2+|B|^2+2|A||B|\ge |A|^2+|B|^2+2(A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z) \Rightarrow \\\\
\Rightarrow (|A|+|B|)^2\ge (|A+B|)^2 \Rightarrow |A|+|B|\ge |A+B|}\)-- 15 paź 2011, o 23:44 --Tu chyba chodzi raczej o różnicę \(\displaystyle{ |A|-|B|}\), a nie o \(\displaystyle{ |A-B|}\)

\(\displaystyle{ (|A|-|B|)^2=|A|^2+|B|^2-2|A||B|}\)

z poprzedniego dowodu mamy

\(\displaystyle{ (|A||B|)^2\ge (A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z)^2 \Rightarrow -|A||B|\le (A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z) \Rightarrow\\\\
\Rightarrow |A|^2+|B|^2-2|A||B|\le |A|^2+|B|^2+2(A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z) \Rightarrow \\\\\Rightarrow (|A|-|B|)^2\le |A+B|^2 \Rightarrow ||A|-|B||\le |A+B|}\)

[Siemion92]

Mam rozumieć że to jest zrobione tak:
\(\displaystyle{ |A|+|B| \ge |A+B|/ ^{2}}\)

\(\displaystyle{ |A| ^{2}+|B| ^{2} +2|A||B| \ge |A| ^{2}+|B| ^{2} + 2(A _{x}B _{x}+A _{y}B _{y}+A _{z}B _{z})}\)

\(\displaystyle{ |A||B| \ge A _{x}B _{x}+A _{y}B _{y}+A _{z}B _{z}}\)

i z tego co napisałeś wnioskuje że podnosisz tu obustronnie do kwadratu, i zastanawia mnie skad wiesz ze prawa strona jest dodatnia ?-- 16 października 2011, 00:42 --Wpadłem na taki pomysł:
\(\displaystyle{ |A|+|B| \ge |A+B|/ ^{2}}\)

\(\displaystyle{ |A| ^{2}+|B| ^{2} +2|A||B| \ge |A| ^{2}+|B| ^{2} + 2(A _{x}B _{x}+A _{y}B _{y}+A _{z}B _{z})}\)

\(\displaystyle{ |A||B| \ge A _{x}B _{x}+A _{y}B _{y}+A _{z}B _{z}}\)

\(\displaystyle{ |A||B| \ge A*B (iloczyn skalarny)}\)

\(\displaystyle{ |A||B| \ge A*B / |A||B|}\)

\(\displaystyle{ 1 \ge cos \alpha}\) ckd (1 część nierówności) Co o tym sądzisz?

[octahedron]

Jeśli prawa strona jest ujemna, to nierówność tym bardziej jest prawdziwa.

[Siemion92]

A co powiesz o tej możliwości z cosinusem ?

[octahedron]

Też myślałem o iloczynie skalarnym, ale chciałem ten dowód zrobić tak od samych podstaw, bez korzystania z dodatkowych pojęć. Bo jeszcze prościej jest skorzystać z nierówności trójkąta.

[Siemion92]

a jesli chodzi o druga czesc nierowności to wydaje mi się że powinna być roznica wektorów a nie dlugosci

[octahedron]

\(\displaystyle{ A=i\\
B=-i\\
|A+B|=0\\
|A-B|=2\\
|A+B|\ge |A-B|?}\)

chyba nie bardzo...

[Siemion92]

Dobrze mówisz ||A|-|B||. Tylko nie rozumiem skąd CI się tam wzięło w drugiej nierówności po pierwiastkowaniu znak minusa i zmieniony zwrot.

[octahedron]

\(\displaystyle{ x^2\ge y^2\Rightarrow |x|\ge |y| \Rightarrow -|x|\le y}\)

[Siemion92]

A skąd wiesz że w naszej nierówności y jest ujemne ?

[octahedron]

\(\displaystyle{ |x|\ge y:\\
y\ge 0 \Rightarrow |y|=y:\\
|x|\ge y\\
-|x|\le -y\le 0\le y\\
-|x|\le y\\
y<0 \Rightarrow |y|=-y:\\
|x|\ge -y\\
-|x|\le y}\)

To działa dla dodatnich i ujemnych liczb, zresztą to proste: skoro \(\displaystyle{ |x|\ge |y|}\), to na osi liczbowej \(\displaystyle{ x}\) leży co najmniej tak daleko od \(\displaystyle{ 0}\) jak \(\displaystyle{ y}\), więc jeśli zaznaczymy na osi \(\displaystyle{ -|x|}\), to \(\displaystyle{ y}\), dodatni czy ujemny, nie może leżeć dalej w stronę liczb ujemnych