Styczna do okręgu z punktu

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
opti
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 323
Rejestracja: 29 lis 2009, o 17:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wawa
Podziękował: 53 razy
Pomógł: 46 razy

Styczna do okręgu z punktu

Post autor: opti »

Okrąg jest styczny do osi OX w punkcie C (-2, 0), a prosta k przechodzi przez punkt A (-6, 0) i jest styczną do okręgu w punkcie B. A znajduje się w odległości \(\displaystyle{ 6 \sqrt{2}}\) od środka okręgu. Dołączam rysunek całego zadanka:

Problem w wyznaczeniu tej stycznej. Kombinuję, i kombinuję, działam na wektorach, liczę odległości, i nie mogę znaleźć tej prostej stycznej.

Powinno być:
\(\displaystyle{ 4\sqrt{2}x - 7y + 24\sqrt{2} = 0}\)

Zadanie pochodzi ze zbiorów Kiełbasy: numer 376, część druga.-- 12 paź 2011, o 17:53 --Oto i rysunek do zadania:

mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Styczna do okręgu z punktu

Post autor: mat_61 »

Wskazówka:

1. Znajdź współrzędne środka okręgu
2. Równanie stycznej to \(\displaystyle{ y=ax \textcolor {red}{+6a \ (^*)}}\)
3. Napisz równanie okręgu, które wraz z 2) będzie tworzyć układ
4. Napisz warunek kiedy ten układ ma jedno rozwiązanie.

* - poprawione po poście opti
Ostatnio zmieniony 12 paź 2011, o 18:51 przez mat_61, łącznie zmieniany 1 raz.
opti
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 323
Rejestracja: 29 lis 2009, o 17:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wawa
Podziękował: 53 razy
Pomógł: 46 razy

Styczna do okręgu z punktu

Post autor: opti »

Ską wziałeś takie równanie stycznej z punktu 2?
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Styczna do okręgu z punktu

Post autor: mat_61 »

Przepraszam za pomyłkę (zaraz poprawię). Oczywiście równanie tej prostej to:

\(\displaystyle{ y=ax+6a}\)

Równanie kierunkowe prostej:

\(\displaystyle{ y=ax+b}\)

Prosta przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ B(-6;0)}\), czyli:

\(\displaystyle{ 0=-6a+b \Rightarrow b=6a}\)

Tym samym równanie prostej stycznej, to:

\(\displaystyle{ y=ax+6a}\)
Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

Styczna do okręgu z punktu

Post autor: Sherlock »

Warto zauważyć, że współczynnik kierunkowy prostej to \(\displaystyle{ a=tg\alpha}\) gdzie alfa to kąt nachylenia prostej do osi OX.

U nas:
1. Z tw. Pitagorasa liczymy promień r.
2. \(\displaystyle{ tg\alpha= \frac{r}{8}}\)
3. Styczna nachylona jest pod kątem \(\displaystyle{ 2\alpha}\) więc
\(\displaystyle{ tg2\alpha= \frac{2tg\alpha}{1-tg^2{\alpha}}}\)
4. Styczna ma zatem postać:
\(\displaystyle{ y=tg2\alpha \cdot x+b}\)
b zaś wyznaczymy podstawiając punkt A.
ODPOWIEDZ