znak wyznacznika a położenie punktu względem prostej

matematykamg · Post autor: **matematykamg** » 4 paź 2011, o 20:11

Na płaszczyźnie dane są punkty $\displaystyle{ P = (p_x; p_y), Q = (q_x; q_y)}$ i $\displaystyle{ R = (r_x; r_y)}$. Niech $\displaystyle{ l}$ będzie prostą wyznaczoną przez punkty $\displaystyle{ P}$ i $\displaystyle{ Q}$. Udowodnij, że znak wyznacznika

$\displaystyle{ D(R) = \det\left[\begin{array}{ccc} 1 & p_x & p_y \\ 1 & q_x & q_y \\ 1 & r_x & r_y \end{array}\right]}$

pozwala rozstrzygnąć, po której stronie prostej $\displaystyle{ l}$ lezy punkt $\displaystyle{ R}$.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 4 paź 2011, o 21:09

To łatwe: równanie $\displaystyle{ D(R)=0}$ określa prostą $\displaystyle{ \ell}$ zakładając, że $\displaystyle{ R}$ jest dowolnym punktem tej prostej. Więc znak wyznacznika to zwrot nierówności postaci $\displaystyle{ Ax+By+C\ge 0}$ (lub $\displaystyle{ \le 0}$), co oczywiście określa położenie punktu po jednej ze stron prostej.

matematykamg · Post autor: **matematykamg** » 4 paź 2011, o 23:27

Dziękuję za odpowiedz, jednak chodzi o przypadek kiedy R nie lezy na prostej $l$ tylko po jednej lub drugiej stronie tej prostej

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 5 paź 2011, o 08:22

Może nie napisałem super precyzyjnie, ale dodatniość tego wyznacznika oznacza leżenie punktu po jednej stronie prostej, a ujemność - po drugiej. Zerowanie się - leżenie na prostej.

matematykamg · Post autor: **matematykamg** » 7 paź 2011, o 08:50

W sytuacji jak w poprzednim moim zadaniu: udowodnij, ze $\displaystyle{ \frac12 \cdot |D(r)|}$ jest równe
polu trojkata o wierzcholkach w punktach p, q i r.