"Wykaż, że.." trójkąt oraz styczne.

[kent18]

Witam,
Mam takie zadania i totalnie nie wiem jak z nimi ruszyć. Liczyłbym na jakieś cenne wskazówki...

1.
Wykaż, że \(\displaystyle{ S=( \frac{ x_{1}+x_{2}+x_{3} }{3} , \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3} )}\) jest punktem przecięcia śię środkowych trójkąta o wierzchołkach \(\displaystyle{ A=(x_{1},y_{1}), B=(x_{2},y_{2}), C=(x_{3},y_{3})}\)

2.
Wszystkie punkty będące środkami okręgów stycznych wewnętrznie do okręgu \(\displaystyle{ x^{2} +y^{2}=16}\) i jednocześnie stycznych do osi OX tworzą pewien zbiór. Wyznacz dany zbiór i przedstaw go w układzie współrzędnych.

Z góry dziękuje za pomoc

[anna_]

1.
Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Dzieli on każdą z nich w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka.

[chris_f]

Pierwsze idzie łatwo z wektorów.
Drugie: Niech środek tego okręgu wpisanego ma współrzędne \(\displaystyle{ S=(x,y)}\). Ponieważ ma być styczny do osi \(\displaystyle{ Ox}\) to promień tego okręgu wynosi \(\displaystyle{ r=y}\). Gdy \(\displaystyle{ P}\) jest punktem styczności obu okręgów to \(\displaystyle{ |SO|+r=4}\). Zatem
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2}+y=4}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2}=4-y}\)
\(\displaystyle{ x^2+y^2=16-8y+y^2}\)
\(\displaystyle{ 8y=16-x^2}\)
\(\displaystyle{ y=2-\frac18x^2}\)
Dostaniemy w ten sposób część szukanego zbioru leżącą powyżej osi \(\displaystyle{ Ox}\), poniżej otrzymamy ze znakiem minus, oczywiście \(\displaystyle{ x\in[-4,4]}\).

[kent18]

Niby ok rozumiem, ale skąd wzięło się to równianie?

[chris_f]

Narysuj ten okrąg o promieniu \(\displaystyle{ 4}\), potem okrąg styczny wewnętrznie i poprowadź odcinek z początku układu do punktu styczności. Najpierw masz odcinek od początku układu do środka okręgu wpisanego (liczysz go z Pitagorasa), potem promień okręgu wpisanego. Razem muszą dać promień dużego okręgu czyli \(\displaystyle{ 4}\).