Środek okręgu na podstawie punktów

[lusieq]

Potrzebuje pomocy w rozwiązaniu zadania:

Punkty: A=(-2,1) , B=(-1,-3) i C=(2,6) wyznaczają okrąg. Znajdź współrzędne jego środka.

Kompletnie nie wiem jak się za to zabrać;/

[Kacperdev]

\(\displaystyle{ \sqrt{(x+2)^{2}+(y-1)^{2}}= \sqrt{(x+1)^{2}+(y+3)^{2}}= \sqrt{(x-2)^{2}+(y-6)^{2}}}\)

[lusieq]

i po rozwiazaniu tego wyjdzie mi poprawna odpowiedz?;/ Czy cos innego trzeba zrobic? wartosc bezwzgledna? Juz nie wiem;p

[xiikzodz]

Najprościej jest chyba naśladować konstrukcję środka okręgu opisanego na trójkącie:

1. Równanie symetralnej odcinka \(\displaystyle{ AB}\):

• Środek odcinka \(\displaystyle{ AB}\): \(\displaystyle{ \left(\frac {-2-1}2,\frac {1-3}2\right)=\left(-\frac {3}2,-1\right)}\).
• Wektor prostopadły do symetralnej odcinka \(\displaystyle{ AB}\) to np.:
  
  \(\displaystyle{ A-B=(-1,4)}\)
• Równanie symetralnej:
  
  \(\displaystyle{ -x+4\cdot y=(-1)\cdot\frac{-3}2+4\cdot 1}\),
  
  czyli
  
  \(\displaystyle{ 2x-8y=5}\)

2. Analogicznie równanie symetralnej odcinka \(\displaystyle{ CA}\):

• Środek odcinka \(\displaystyle{ CA}\): \(\displaystyle{ \left(\frac {-2-2}2,\frac {6+1}2\right)=\left(0,\frac 72\right)}\).
• Wektor prostopadły do symetralnej odcinka \(\displaystyle{ CA}\) to np.:
  
  \(\displaystyle{ C-A=(4,5)}\)
• Równanie symetralnej:
  
  \(\displaystyle{ 4x+5y=4\cdot 0+5\cdot \frac 72}\),
  
  czyli
  
  \(\displaystyle{ 8x+10y=35}\)

3. W końcu punkt przecięcia symetralnych to rozwiązanie układu równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases}2x-8y=5\\8x+10y=35\end{cases}}\)

czyli punkt:

\(\displaystyle{ \left(\frac{55}{14},\frac{5}{14}\right)}\).

[Kacperdev]

Stwórz układ równan.

\(\displaystyle{ \begin{cases} (x+2)^{2}+(y-1)^{2}=(x+1)^{2}+(y+3)^{2} \\ (x+2)^{2}+(y-1)^{2}=(x-2)^{2}+(y-6)^{2} \end{cases}}\)

W tym wypadku pierwiastków moge sie pozbyc bez wartosci bezwzglednej, ponieważ pod pierwiastkiem na pewno jest wartosc dodatnia.

Kwadraty ładnie sie poskracaja i powstanie uklad równan taki jak u koleżanki wyżej ; )

[xiikzodz]

Układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} (x+2)^{2}+(y-1)^{2}=(x+1)^{2}+(y+3)^{2} \\ (x+2)^{2}+(y-1)^{2}=(x-2)^{2}+(y-6)^{2} \end{cases}}\)

jest paskudny. Dwa razy więcej roboty.

Często w zagadnieniach z geometrii analitycznej, zanim bezmyślnie wypiszemy układy równań, warto zastosować nieco wiedzy z geometrii syntetycznej.

[Kacperdev]

Czy przypadkiem kwadraty sie nie redukują? Powstanie układ równan z 2 niewiadomymi. Dokładnie taki sam jak wyszedł Tobie ; ). Nie zajeło mi to dużo czasu ; ).

[xiikzodz]

Tu dojście do układu równań powinno zająć 30 sekund: 10 dodawań, 8 mnożeń. Otworzenie nawiasów w kwadratach to 24 dodawania i 16 mnożeń.

[lusieq]

Dziękuje wam.

Mam problem z jeszcze jednym zadaniem.

Wyznacz równanie okręgu wpisanego w kąt zawarty miedzy dodatnią cześcia osi x a prostą \(\displaystyle{ y= \sqrt{3}x}\). Punkt styczności tego okręgu z osią x to A=(4,0)

[xiikzodz]

Środek tego okręgu leży na prostej:

\(\displaystyle{ x=4}\)

bo promień jest prostopadły do stycznej oraz na dwusiecznej danego kąta.

Ten kąt ma miarę \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\), bo równanie prostej to \(\displaystyle{ y=(\tan\alpha)\cdot x}\), jego połowa ma miarę \(\displaystyle{ 30^{\circ}}\) skąd równanie dwusiecznej:

\(\displaystyle{ y=\tan 30^{\circ} x}\)

czyli

\(\displaystyle{ y=\frac{x}{\sqrt 3}}\).

Wstawiamy \(\displaystyle{ x=4}\) do powyższego równania i otrzymujemy punkt:

\(\displaystyle{ \left(4,\frac 4{\sqrt 3}\right)}\).

[lusieq]

Dzięki:) nawet nie wiedziałam o istnieniu wzoru \(\displaystyle{ (\tan \alpha ) \cdot x}\) Ehh.

Moze jeszcze poprosić o pomoc w jednym?

Napisz równanie okręgu stycznego do osi \(\displaystyle{ x}\) i osi \(\displaystyle{ y}\) oraz stycznego zewnętrznie do okręgu o równaniu \(\displaystyle{ (x-8) ^{2} = (y-8) ^{2} = 64}\).

Wiem tyle ze jezeli chodzi o drugi okrąg to ma on promień \(\displaystyle{ r=8}\) i współrzędne środka to \(\displaystyle{ (8,8)}\).

[yorgin]

Dwa trywialne rozwiązania:

\(\displaystyle{ (x+8)^2+(y-8)^2=8^2\\
(x-8)^+(y+8)^2=8^2}\)

jako odbicia względem osi OY i OX.



Rozwiązania w pierwszej ćwiartce:

Zauważ, że środek okręgu leży na prostej \(\displaystyle{ y=x}\) - okrąg jest styczny do obu osi.

Równanie ma więc postać

\(\displaystyle{ (x-a)^2+(y-a)^2=a^2}\)

Co więcej, oba okręgi są styczne do obu osi, więc ich punkty styczności również leżą na prostej \(\displaystyle{ y=x}\).

Wyznacz możliwe punkty styczności. \(\displaystyle{ (8\pm 4\sqrt{2},8\pm 4\sqrt{2})}\)

Te punkty spełniają równanie szukanego okręgu:
\(\displaystyle{ 2\cdot (x-a)^2=a^2}\)

Rozwiązujesz ze względu na zmienną a. Ponieważ \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}\geq 4x}\) więc to równanie będzie miało jeden pierwiastek dodatni. A ponieważ są dwie możliwe wartości x, dostaniesz dwie możliwe wartości a.

[lusieq]

hymm a cos wiecej?