odległość płazczyzn i równanie prostej

[ewelynka]

Mam rozwiązać takie zadania, pomoże mi ktoś?

1. Oblicz ile wynosi odległość płaszczyzny \(\displaystyle{ H_1}\) od płaszczyzny \(\displaystyle{ H_2}\)
\(\displaystyle{ H_1: (x,y,z,)=a(-1;2;0) +B(0;-2;2)+(0,0,2),\text{ dla }a,B \in \mathbb{R}\\
H_2: (x,y,z) =t(0,1,-1)+u(3,-6,0)+(0,1,2),\text{ dla }t,u \in \mathbb{R}}\)


3. Znaleźć równanie prostej w przestrzeni R3 przechodzącej przez punkt
\(\displaystyle{ B=(2,3,1)}\) oraz przechodzący przez punkt przebicia prostej
\(\displaystyle{ l: \begin{cases}x=a+1\\y=-2 \alpha\\z=3 \alpha +1\end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R}}\), z płaszczyzną \(\displaystyle{ H: 4z-y+3x+1=0}\).

[chris_f]

1. Po płaszczyzny \(\displaystyle{ H_1}\) należy punkt \(\displaystyle{ P=(0,0,2)}\) a zatem wystarczy znaleźć odległość tego punktu od płaszczyzny \(\displaystyle{ H_2}\) (bo te płaszczyzny są równoległe, co łatwo sprawdzić). Znajdujemy równanie ogólne płaszczyzny \(\displaystyle{ H_2}\), jej wektorem normalnym jest \(\displaystyle{ \vec{n}=[0,1,-1]\times[3,-6,0]=[-3,-3,-6]}\), zatem jej równanie ogólne ma postać \(\displaystyle{ -3x-3y-6z+D=0}\) i ponieważ punkt \(\displaystyle{ Q=(0,1,2)}\) należy do niej, to \(\displaystyle{ -3\cdot0-3\cdot1-6\cdot2+D=0}\) skąd \(\displaystyle{ D=15}\). Korzystamy ze wzoru na odległość punktu od płaszczyzny i mamy
\(\displaystyle{ d(P,H_2)=\frac{|Ax_P+By_P+Cz_P+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} =\frac{|-3\cdot0-3\cdot0-6\cdot2+15|}{\sqrt{9+9+36}}=\frac{\sqrt{6}}{6}}\)

3(?). Szukamy tego punktu przebicia (zakładam, że w równaniu prostej \(\displaystyle{ l}\) jest \(\displaystyle{ x=\alpha+1}\) a nie jakieś \(\displaystyle{ x=a+1}\), czyli, że jest to literówka - taki jest efekt niechlujstwa i nieużywania TeX-a).
\(\displaystyle{ 4(3\alpha+1)-(-2\alpha)+3(\alpha+1)+1=0}\)
\(\displaystyle{ 17\alpha=-8}\)
\(\displaystyle{ \alpha=-\frac{8}{17}}\)
Zatem szukany punkt przebicia \(\displaystyle{ P=\left(\frac{9}{17},\frac{16}{17},-\frac{7}{17}\right)}\). Wektor kierunkowy szukanej prostej \(\displaystyle{ \vec{k}=\stackrel{\longrightarrow}{PB}=\left[\frac{25}{17},\frac{35}{17},\frac{24}{17}\right]}\), czyli równanie szukanej prostej
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}
x=\frac{9+25\alpha}{17}\\ y=\frac{16+35\alpha}{17}\\ z=\frac{-7+24\alpha}{17}\end{array}\right.}\)

[ewelynka]

Dziękuje, bardzo mi pomogłeś teraz już rozumiem jak rozwiązywać zadania tego typu

I przepraszam najmocniej za nie użycie TeXa

pozdrawiam