Kąt między wektorem a osią OX, OY, OZ (układ współrzędnych)

[tatteredspire]

Jaka jest definicja kąta między niezerowym wektorem a osiami układu współrzędnych? Szukałem w internecie, ale nie udało mi się znaleźć, w żadnej książce tego nie mam.

[Kartezjusz]

Chodziło pewnie o trzy kąty pomiędzy wektorem a osiami...

[tatteredspire]

Konkretnie to mam zadanie:

Wektor \(\displaystyle{ \vec{a}}\) tworzy z osiami \(\displaystyle{ OX}\) i \(\displaystyle{ OY}\) kąty odpowiednio \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3}}\) i \(\displaystyle{ \frac{2 \pi }{3}}\). Obliczyć jego współrzędne wiedząc, że jego długość wynosi \(\displaystyle{ 2}\).

Potrzebuję informacji jak zaznaczyć te kąty (które to są).

PS: Domyślam się, że może to być kąt między wektorem a jego rzutem prostokątnym na tę oś, ale pewności nie mam.

[Kartezjusz]

Kąt jest w 3D?

[tatteredspire]

Nie wiem czy dobrze myślę, ale chyba musi być w (więcej niż 3D nie biorę pod uwagę) 3D, bo jak mógłby tworzyć kąt \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3}}\) z osią \(\displaystyle{ OX}\) i kąt \(\displaystyle{ \frac{2 \pi }{3}}\) z osią \(\displaystyle{ OY}\) gdyby leżał w tej samej płaszczyźnie co te osie? Inaczej zadanie (chyba) nie ma sensu, ale może się mylę.

[Kartezjusz]

Z osiami wiążą się wektory \(\displaystyle{ [1,0,0]}\) i \(\displaystyle{ [0,1,0]}\) wiedząc jakie tworzy kąty i jaką ma długość możemy wyliczyć ten wektor ponieważ mamy układ trzech równań z 3 niewiadomymi (dwa na kąt pomiędzy wektorami i jedno na długość...)

[tatteredspire]

Z cosinusów kierunkowych wektora to zadanie pewnie pójdzie, ale mi w gruncie rzeczy nie chodzi o samo to zadanie, tylko o to, które to są kąty pomiędzy wektorem a osiami (kąt między wektorem a jego rzutem prostokątnym na tę oś?), jak go zaznaczyć itp.

[Kartezjusz]

Chodzi o kąt pomiędzy wektorem konkretnym,a wektorem zaczepionym w punkcie \(\displaystyle{ (0,0,0)}\)
i równoległym do odpowiedniej osi...

[tatteredspire]

Dziękuję za wyjaśnienie.

Żeby nie tworzyć kolejnego tematu, zapytam na koniec w tym temacie - Czy dany niezerowy wektor może tworzyć z trzema osiami układu współrzędnych kąty o miarach (odpowiednio) \(\displaystyle{ \alpha , \beta , \gamma}\) gdzie \(\displaystyle{ alpha , eta ,gamma in [0, pi )}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \cos^2 \alpha+\cos^2 \beta + \cos^2\gamma=1}\)?

[Kartezjusz]

Tak. Rozważmy wektor o współrzędnych \(\displaystyle{ [a,b,c]}\). Niech będzie przekątną sześcianu o bokach: a,b i c . Wówczas te boki położone są na osiach(osie są parami prostopadłe) i :
długość przekątnej:\(\displaystyle{ \sqrt{ a^{2}+b^{2}+c^{2}}=k}\)
\(\displaystyle{ \cos\alpha= \frac{a}{k}}\)
\(\displaystyle{ \cos\beta= \frac{b}{k}}\)
\(\displaystyle{ \cos\alpha= \frac{c}{k}}\)Podnosząc te wyrażenia do kwadratu i dodając mamy tezę.
W drugą stronę pokazujemy właściwie nadając wspomnianą interpretację i odwracając rozumowanie...

[tatteredspire]

Dziękuję za wszystkie odpowiedzi.