rachnek wektorowy

[agn]

Obliczyc pole równoległoboku zbudowanego na wektorach

\(\displaystyle{ \vec{a}= 2 \vec{m}- \vec{n}}\), \(\displaystyle{ \vec{b} = \vec{m}+ \vec{n}}\)

Gdy \(\displaystyle{ \left| m\right|= 1, \left| \vec{n} \right|= 2}\)

kąt miedzy wektorami \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3}}\)

Pole \(\displaystyle{ S}\) równoległoboku

\(\displaystyle{ S=\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|=\left| (2 \vec{m}- \vec{n})\times ( \vec{m} + \vec{n}) \right| =\left| 2 \vec{m }\cdot \vec{n}- \vec{n} \cdot \vec{m} \right|=3 \left| \vec{m} \times \vec{n}\right|}\)

Dlaczego wyciagamy 3 przed nawias i skad sie bierze?

[chris_f]

Pole \(\displaystyle{ S}\) równoległoboku

\(\displaystyle{ S=\left| \vec{a} x \vec{b} \right|=\left| (2 \vec{m}- \vec{n})x ( \vec{m} + \vec{n}) \right| =\left| 2 \vec{m }\cdot \vec{n}- \vec{n} \cdot \vec{m} \right|=3 \left| \vec{m} x \vec{n}\right|}\)

Dlaczego wyciagamy 3 przed nawias i skad sie bierze?

Popełniłaś błąd w zapisie, bo zgubiłaś iloczyn wektorowy \(\displaystyle{ \times}\) zastępując go iloczynem skalarnym \(\displaystyle{ \cdot}\).
W sumie te rachunki są prawdziwe, pamiętaj, że \(\displaystyle{ \vec{m}\times\vec{n}=-\vec{n}\times\vec{m}}\) wtedy dostaniesz \(\displaystyle{ 3\vec{m}\times\vec{n}}\) no i wyciągasz trójkę

[agn]

ja to z ksiazki przepisalam, wiec nie powinno byc bledu

[chris_f]

Wszystko jest OK, tyle tylko, że zamiast tych kropek we wzorze powinny być \(\displaystyle{ \times}\).
Obliczamy to według wzoru na rozdzielność iloczynu wektorowego względem dodawania
\(\displaystyle{ (\vec{a}+\vec{b})\times(\vec{c}+\vec{d})=\vec{a}\times\vec{c}+\vec{a}\times\vec{d}+\vec{b}\times\vec{c}+\vec{b}\times\vec{d}}\)
oraz po uwzględnieniu faktu, że \(\displaystyle{ \vec{a}\times\vec{a}=0}\) oraz \(\displaystyle{ (\alpha\vec{a})\times\vec{b}=\alpha(\vec{a}\times\vec{b})}\).

[agn]

i tak nie wiem czemu wtedy bedzie w nawiesie \(\displaystyle{ \left( \vec{m} \times\vec{n} \right)}\)