Dana jest prosta \(\displaystyle{ l:\begin{cases} x-y+2z-3=0\\2x+y-z-5=0\end{cases}}\). Napisac rownanie plaszczyzny ktora jest rownolegla do l i przechodzi przez punkty\(\displaystyle{ A=(1,2,3), B=(3,2,1)}\). Chcialbym zapytac czy dobrze robie to zadanie.
Najpierw szukam wektora kierunkowego prostej czyli mnoze wektorowo wektory normalne plaszczyzn
\(\displaystyle{ \vec{n}= \vec{n _{1} }}\)x \(\displaystyle{ \vec{n_{2}}}\)
nastepnie mnoze wektorowo \(\displaystyle{ \vec{n}}\)i wektor \(\displaystyle{ \vec{AB}}\) i otrzymuje wektor normalny szukanej płasczyzny. Podstawiam punkt A lub B do rownania
\(\displaystyle{ \pi: A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0}\), gdzie A,B,C wspolrzedne wczesniej wyliczonego wektora. I mam rownanie szukanej plaszczyzny. Prosze o pomoc.
Napisac równanie płaszczyzny
-
xiikzodz
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Napisac równanie płaszczyzny
Bardzo dobrze.
Wypiszę może, co mi wychodzi, to sobie porównasz rachunki:
Wektory normalne płaszczyzn przecinających się wzdłuż danej prostej:
\(\displaystyle{ n_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}, n_2=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}}\)
ich produkt:
\(\displaystyle{ n=n_1\times n_2=\begin{pmatrix}-1\\5\\3\end{pmatrix}}\)
drugi wektor równoległy do szukanej płaszczyzny:
\(\displaystyle{ A-B=\begin{pmatrix}-2\\0\\2\end{pmatrix}}\)
Wektor normalny do szukanej płaszczyzny:
\(\displaystyle{ (n_1\times n_2)\times(A-B)=\begin{pmatrix}10\\-4\\10\end{pmatrix}}\)
lub po podzieleniu:
\(\displaystyle{ m=\begin{pmatrix}5\\-2\\5\end{pmatrix}}\).
W końcu równanie szukanej płaszczyzny:
\(\displaystyle{ m\circ X=m\circ(A-0)}\)
czyli:
\(\displaystyle{ 5x-2y+5z=5-6+15}\).
Wynik:
\(\displaystyle{ 5x-3y+5z=14}\).
Wypiszę może, co mi wychodzi, to sobie porównasz rachunki:
Wektory normalne płaszczyzn przecinających się wzdłuż danej prostej:
\(\displaystyle{ n_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}, n_2=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}}\)
ich produkt:
\(\displaystyle{ n=n_1\times n_2=\begin{pmatrix}-1\\5\\3\end{pmatrix}}\)
drugi wektor równoległy do szukanej płaszczyzny:
\(\displaystyle{ A-B=\begin{pmatrix}-2\\0\\2\end{pmatrix}}\)
Wektor normalny do szukanej płaszczyzny:
\(\displaystyle{ (n_1\times n_2)\times(A-B)=\begin{pmatrix}10\\-4\\10\end{pmatrix}}\)
lub po podzieleniu:
\(\displaystyle{ m=\begin{pmatrix}5\\-2\\5\end{pmatrix}}\).
W końcu równanie szukanej płaszczyzny:
\(\displaystyle{ m\circ X=m\circ(A-0)}\)
czyli:
\(\displaystyle{ 5x-2y+5z=5-6+15}\).
Wynik:
\(\displaystyle{ 5x-3y+5z=14}\).