równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt

Ozone · Post autor: **Ozone** » 12 wrz 2011, o 16:32

Mam problem z takim o to zadaniem, gdyż nie byłem obecny na zajęciach z tej części materiału
a)Napisać równanie płaszczyzny która przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ A(2,3,1)}\) i zawiera prostą
\(\displaystyle{ L:\begin{cases} x+y=1\\2x+y-z=2\end{cases}}\)

b) Sprawdzić, czy punkt B(0,0,0) należy do wyznaczonej płaszczyzny.
Czy ktoś mógłby napisać mi krok po kroku jak rozwiązać to zadanie ( podać algorytm). Dziękuje za pomoc.

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 12 wrz 2011, o 20:14

Ponieważ punkt A nie leży na danej prostej, to wystarczy obrać dwa dowolne różne między sobą punkty na tej prostej i poprowadzić przez nie i przez punkt A płaszczyznę. Skorzystaj ze wzoru na równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy niewspółliniowe punkty.

Ozone · Post autor: **Ozone** » 13 wrz 2011, o 11:27

dzieki wielkie za pomoc a jeszcze takie 2 pytania:
1. jaka metoda postetowania gdy prosta L jest prostopadla do szukanej plaszczyzny a NIE zawiera sie w niej
2. jak napisac rownanie plaszczyzny stycznej do wykresu np w pkt lokalnego minimum

Crizz · Post autor: **Crizz** » 18 wrz 2011, o 21:06

Jeśli to dalej aktualne to:

1. Wtedy wektor kierunkowy prostej jest wektorem normalnym do płaszczyzny (wektor \(\displaystyle{ [A,B,C]}\) jest normalny do płaszczyzny \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\)). Wyznaczasz wektor kierunkowy jako iloczyn wektorowy wektorów normalnych płaszczyzn, których równania tworzą równanie prostej. Współczynnik \(\displaystyle{ D}\) wyznaczasz, podstawiając znany punkt szukanej płaszczyzny.

2. Jeśli umiesz wyznaczyć pochodną w kierunku dwóch wektorów, to dostajesz dwa wektory, liczysz iloczyn wektorowy i znowu: masz wektor normalny + znasz punkt, przez który przechodzi płaszczyzna.

Ozone pisze:np w pkt lokalnego minimum

Tu akurat nie trudno, bo taka płaszczyzna jest równoległa do płaszczyzny \(\displaystyle{ XOY}\).