Prostokąt ABCD- dowód długości boku AB na podstawie kątów

[micbac]

Witam !

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania. Treść:

Dany jest prostokąt \(\displaystyle{ ABCD}\). Środek boku \(\displaystyle{ AB}\) to punkt \(\displaystyle{ E}\). Przecięcie odcinków \(\displaystyle{ |EC|}\) i \(\displaystyle{ |DB|}\) to punkt \(\displaystyle{ S}\).
Udowodnić, że jeśli kąt \(\displaystyle{ CSB=90^\circ}\), to \(\displaystyle{ AB= \sqrt2}\).

Byłbym wdzięczny za szybką odpowiedź, zadanie na jutro, a ja za nic nie mogę go złamać.

Z góry dziękuję !

Michał

[sigmaIpi]

AB= ???

[micbac]

Nie jest podane. Trzeba właśnie udowodnić, że jeżeli kąt CSB = 90 stopni TO AB jest równe pierwiastkowi z 2.

[aalmond]

A może \(\displaystyle{ AB = \sqrt{2} \cdot BC}\)?

[micbac]

Jak wyprowadziłeś tą zależność ?

[aalmond]

Z podobieństwa trójkątów.
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{2}AB }{BC} = \frac{BC}{AB}}\)

[micbac]

Niech to... nie potrafię sobie tego wyobrazić. Których trójkątów ? No i czy jesteś pewien, że tak się da ?

[aalmond]

Odcinki EC i DB przecinają się pod kątem prostym. A zatem trójkąty ABC i EBC są podobne (porównaj odpowiednie kąty).

[micbac]

Jesteś pewien podobieństwa tych trójkątów ? a co za tym idzie, całego rozwiązania ? Gdyby były podobne to wszystko się zgadza, ale z jakoś nie widzę tego (nawet porównując kąty).

[aalmond]

Rozpatrujemy dwa trójkąty: \(\displaystyle{ ABD}\) i \(\displaystyle{ EBS}\).
\(\displaystyle{ \sphericalangle ABD = \sphericalangle EBS \\
\sphericalangle BES = 90^ \circ - \sphericalangle EBS \\
\sphericalangle BCE = 90^ \circ - \sphericalangle BES \\}\)
z tego:
\(\displaystyle{ \sphericalangle BCE = \sphericalangle EBS = \sphericalangle ABD = \sphericalangle BAC}\)

[micbac]

Dziękuję Ci bardzo ! Kumam już !