Odległość punktu od prostej - sprawdzenie

[kamilrun]

Proszę kogoś o rzetelne sprawdzenie zadania, ponieważ nie jestem pewien czy rozwiązuje zadanie poprawnie.

Zadanie:
Znaleźć odległość punktu \(\displaystyle{ P = (7,9,7)}\) od prostej \(\displaystyle{ l: \begin{cases} x+y-z=0 \\ 2x-y+3z=0 \end{cases}}\).

Rozwiązanie:
Chcę znaleźć płaszczyznę w której będzie zawarty nasz punkt, a która będzie prostopadła do naszej prostej. Jej wektor normalny będzie wektorem rozpinającym naszą prostą. Wektor rozpinający to:
\(\displaystyle{ \vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = (2,-5,-3)}\)
Aby znaleźć punkt przez który przechodzi prosta podstawiam do powyższego układu równań za \(\displaystyle{ x=0}\) i otrzymuję: \(\displaystyle{ \begin{cases} y-z=0 \\ -y+3z=1 \end{cases}}\)

..z tego otrzymuję punkt \(\displaystyle{ P_0 = (0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})}\) . Dzięki tym zabiegom moja prosta wygląda tak: \(\displaystyle{ l:(x,y,z) = (0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) + t[2,-5,-3]}\)
Zapisuję teraz równanie płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ P = (7,9,7)}\)o wektorze normalnym takim jak rozpinający \(\displaystyle{ \vec{n} = (2,-5,-3)}\). Równanie płaszczyzny to:

\(\displaystyle{ \pi : 2x-5y-3z+4=0}\)

Znajduję przecięcie się prostej i płaszczyzny i otrzymuję punkt \(\displaystyle{ S= (0, \frac{1}{2},\frac{1}{2})}\)

Dalej "składam" wektor\(\displaystyle{ \vec{PS}}\) który wygląda następująco: \(\displaystyle{ \vec{PS}=(-7,-\frac{17}{2},-\frac{13}{2})}\)
..i już na końcu jego długość równą \(\displaystyle{ |\vec{PS}| = \frac{\sqrt{654}}{2} \approx 12,79}\)

Jeśli ktoś miałby chwilę na sprawdzenie czy zgadzają się Wam wyniki z moimi to byłbym bardzo wdzięczny! Nie wiem, czy nie robię gdzieś błędów w toku rozumowania, a nie chciałbym przystępować do egzaminu nie umiejąc poprawnie rozwiązywać zadań(!).

Dziękuje z góry

[Crizz]

Masz niestety błąd (nie wiem, czy w treści zadania, czy w rozwiązaniu): w równaniu krawędziowym, w drugim z równań płaszczyzn w rozwiązaniu masz inny wyraz wolny niż w treści zadania. Poza tym wszystko wygląda OK.