Równanie płaszczycny

[cappadonna]

1.Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt M(1,4,-2) i prostą L:\(\displaystyle{ \begin{cases} x + 2y - z +8 = 0 \\ x - y + 1 = 0 \end{cases}}\)

Pytanie jak to zrobić? Należy wyznaczyć moduł prostych, pomnożyć je wektorowo i uzyskany moduł pomnożyć przez punkt M?

2. Znaleść równanie płaszczyzny H przechodzącej przez punkt P(1, 3, 5) i zawierającą prostą L \(\displaystyle{ L:\frac{x - 1}{2}= \frac{y}{3}= \frac{z+5}{-3}}\)

Jeżeli byłaby prostopadła to nie byłby problem, a w takiej sytuacji co robimy??

3.Wyznaczyć równanie prostej wiedząc że prosta przechodzi przez punkt M(1,0,-3) oraz jest prostopadłą do płaszczyzny \(\displaystyle{ 2x - y +3z - 4 = 0}\)

Również pytanie jak to zrobic??

[tometomek91]

1. Łatwo można znaleźć wektor kierunkowy tej prostej \(\displaystyle{ v=(1,2,13)}\). Bierzemy dowolny punkt z tej prostej, np. \(\displaystyle{ K=(1,2,13)}\). Oczywistm jest, że wektor normalny tej płaszczyzny to \(\displaystyle{ n=\vec{KM} \circ v=(0,2,-15) \circ (1,2,13)=(0,4,-195)}\). Do znalezienie równania płaszczyzny wykorzystuejmy informacje o punkcie M.

-- 29 sie 2011, o 20:27 --

2. L: \(\displaystyle{ \begin{cases} x=2t+1 \\ y=3t \\ z=-3t-5 \end{cases}}\) i jej wektor kierunkowy to \(\displaystyle{ v=(2,3,-3)}\) dalej jak w 1.

3. Wektor normalny płaszczynzy to \(\displaystyle{ n=(2,-1,3)}\) i jest to nasz wektor kierunkowy \(\displaystyle{ v}\) szukanej prostej, wektorem wodzącym tej prostej jest \(\displaystyle{ r=(1,0,-3)}\). Podstawiamy do równania prostej: \(\displaystyle{ (x,y,z)=r+tv}\) \(\displaystyle{ (t \in \mathbb{R})}\).

[cappadonna]

Teraz to jakoś nic nie rozumiem, mógłbyś mi napisać jak te równania mają wyglądać?

[tometomek91]

Tak:
\(\displaystyle{ \pi:\ Ax+By+Cz+D=0}\)
gdzie \(\displaystyle{ (A,B,C)}\) to współrzędne wektora normalnego tej płaszczyzny (wyznaczyłem go w pierwszym zadaniu, w drugim robi się to identycznie). Współczynnik \(\displaystyle{ D}\) wyznaczamy stąd, że współrzędne punktu \(\displaystyle{ M}\) spełniają rownanie tej płaszczyzny.

[cappadonna]

Skąd wziął się taki wektor kierunkowy z pierwszego zadania??

3. Odp. \(\displaystyle{ \frac{x -1}{2}= \frac{y}{-1}= \frac{2 + 3}{-4}}\) ??

2.Odp:
\(\displaystyle{ \vec{PA}=[0,-3,0]\\
u \times v=[9,0,-6]\\
9 \cdot 1+3 \cdot 0(-6) \cdot 5+D=0\\
D=21\\
\pi : 9x-6z+21=0}\)

Dobrze??-- 30 sie 2011, o 23:40 --PA=[0, -3, -10] tak powinno być, tylko czy w ogóle jest to dobrze??