Równanie płaszczyzny

[maciek91m]

Witam, prosiłbym o pomoc w takim zadaniu:
Napisać równanie płaszczyzny która przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ A(2,3,1)}\) i zawiera prostą
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x+y=1 \\ 2x+y-z=2 \end{cases}}\)
Sprawdź czy punkt \(\displaystyle{ B(0,0,0)}\) należy do tej płaszczyzny.

W sumie coś tam samemu naskrobałem na kartce i wyszło mi ze płaszczyzna ma postac: \(\displaystyle{ x-y-2z+3}\). Ale powątpiewam w poprawnosc tego wyniku dlatego prosilbym o pomoc

[Tomek_Z]

Mógłbyś pokazać swoje obliczenia, albo chociaż podać tok rozumowania? Bo mi wyszło nieco inaczej.

[maciek91m]

No ok ale to z pewnoscia bedzie zle co napisze:
no wiec wyliczam wektor \(\displaystyle{ \vec{r} =[1;1;0] \times [2;1;-1]= \left[ \left|\begin{array}{ccc}1&0\\1&-1\end{array}\right|;-\left|\begin{array}{ccc}1&0\\2&-1\end{array}\right|; \left|\begin{array}{ccc}1&1\\2&1\end{array}\right|\right] =[-1;1;-1]}\).

Szukamy teraz plaszczyzny ktora zawiera prostą l i pkt A. No to szukam wektoru prostopadlego do tej naszej plaszczyzny. Wiec \(\displaystyle{ [-1;1-1] \circ [1;-1;-2]=0}\). Więc nasz wektor plaszczyzny wynosi
\(\displaystyle{ \vec{R} =[1;-1;-2]}\).
Zatem rownanie plaszczyzny:
\(\displaystyle{ 1(x-2)-1(y-3)-2(z-1)}\)
po przeksztalceniach
\(\displaystyle{ x-y-2z+3=0}\)

[Justka]

Szukamy teraz plaszczyzny ktora zawiera prostą l i pkt A. No to szukam wektoru prostopadlego do tej naszej plaszczyzny. Wiec\(\displaystyle{ [-1;1-1] \circ [1;-1;-2]=0}\). Więc nasz wektor plaszczyzny wynosi
\(\displaystyle{ \vec{R} =[1;-1;-2].}\)

w jaki sposób otrzymałeś akurat taki wektor? Fakt, jest on prostopadły do \(\displaystyle{ [-1,1,-1]}\), ale nie jest wektorem normalnym szukanej płaszczyzny.

Proponuję znaleźć dwa punkty spełniające równanie prostej, np. \(\displaystyle{ K(1,0,0), \ L(0,1,-1)}\). Wektory \(\displaystyle{ \vec{KA}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{LA}}\) są równoległe do szukanej płaszczyzny, więc wektor \(\displaystyle{ \vec{R}=\vec{KA} \times \vec{LA}}\) jest do niej prostopadły. Teraz wystarczy go obliczyć i dalej prosto.

Mi wyszło \(\displaystyle{ \vec{R}=[4,0,-4]}\), stąd równanie płaszczyzny \(\displaystyle{ 4x-4z-4=0}\).

[Tomek_Z]

Albo znajdź jeszcze dodatkowe dwa punkty należące do tej płaszczyzny oraz weź dowolny punkt \(\displaystyle{ (x,y,z)}\). Otrzymasz trzy wektory należące do jednej płaszczyzny, ich wyznacznik jest oczywiście równy zeru. W wyniku otrzymuje to samo co Justka.

[maciek91m]

Dzięki bardzo .