Matematyka.pl

Potrzebuję znaleźć współrzędne \(\displaystyle{ \left( x_{0}, y_{0}, z_{0} \right)}\) sfery przechodzącej przez 3 punkty w przestrzeni trójwymiarowej \(\displaystyle{ \left( x_{1}, y_{1}, z_{1} \right), \left( x_{2}, y_{2}, z_{2} \right), \left( x_{3}, y_{3}, z_{3}\right)}\), której promień wynosi \(\displaystyle{ \alpha}\). Niewiadomymi są \(\displaystyle{ \left( x_{0}, y_{0}, z_{0} \right)}\).

Wpadłem na pomysł, żeby wykorzystać równanie sfery i stworzyć układ równań:
\(\displaystyle{ \left( x_{1}-x_{0} \right)^{2}+\left( y_{1}-y_{0} \right)^{2}+\left( z_{1}-z_{0} \right)^{2}=\\
\left( x_{2}-x_{0} \right)^{2}+\left( y_{2}-y_{0} \right)^{2}+\left( z_{2}-z_{0} \right)^{2}=\\
\left( x_{3}-x_{0} \right)^{2}+\left( y_{3}-y_{0} \right)^{2}+\left( z_{3}-z_{0} \right)^{2}= \alpha ^ {2}}\)
Ale nie umiem tego policzyć też sobie nie radzi, jaki będzie wzór ogólny na położenie takiego punktu?

Uł takie rzeczy liczyłem dosyć dawno, ale nie wiem czy nie lepiej przejść do płaszczyzny kartezjańskiej i potem stworzyć macierz Jacobiego. Może poczytaj o pochodnych cząstkowych, promieniu wodzącym a może i jeszcze azymutalu(?).

Pozdrawiam

P.S Ten układ równań MOIM zdaniem nie na wiele Ci się zda

Zainstalowałem Mathematice, wrzuciłem powyższy układ równań i dostałem rozwiązanie... składające się z 27 tys. linii (sic!). O ile działa ono prawidłowo i nawet obliczenie go w C++ zajmuje poniżej 10ms to niestety jest to część kodu, która wykonywana jest najczęściej i musi być zoptymalizowana (już pomijając fakt że program kompiluje się 30 minut i zajmuje 3MB ).

Po co mam przechodzić do płaszczyzny kartezjańskiej? Google nie słyszało o czymś takim jak azymutal, prosiłbym o jakąś bardziej konkretną odpowiedź...-- 12 sie 2011, o 02:25 --Rozgryzłem to sam, a rozwiązanie było jak zwykle banalnie proste, podaje bo może komuś się przyda (mi było potrzebne do wyliczania czegoś co zwie się Alpha Shapes):

• Znaleźć środek okręgu opisanego na punktach \(\displaystyle{ p_{1},p_{2},p_{3}}\) o środku w \(\displaystyle{ c}\) i promieniu \(\displaystyle{ R}\).
• Sprawdzić czy \(\displaystyle{ R^{2} < \alpha ^{2}}\), jeśli ten warunek nie jest spełniony to nie da się stworzyć szukanej sfery.
• Znaleźć wektor normalny do płaszczyzny przechodzącej przez 3 znane punkty - \(\displaystyle{ n=| p_{2}-p{1}| \times |p_{3}-p{1}|}\). Zwrot wektora nie ma znaczenia.
• Wyliczamy odległość płaszczyzny od środka sfery - \(\displaystyle{ h^{2}= \alpha ^{2} - R^{2}}\).
• Wykorzystując równanie parametryczne prostej
  \(\displaystyle{ x=c_{x} + t \cdot n_{x} \\
  y=c_{y} + t \cdot n_{y} \\
  z=c_{z} + t \cdot n_{z}}\)
  oraz równanie sfery \(\displaystyle{ (x-c_{x}\)^{2}+t(y-c_{y})^{2}+(z-c_{z})^{2}}\), wyliczamy, że \(\displaystyle{ t^{2}(n_{x}^2+n_{y}^2+n_{z}^2)=h^{2}}\), jeśli wcześniej znormalizujemy wektor \(\displaystyle{ n}\), tak aby jego długość wynosiła 1, to otrzymamy ostatecznie \(\displaystyle{ t= h}\).
• Istnieją 2 takie sfery, współrzędne ich środków wynoszą:
  \(\displaystyle{ c_{1}=\vec{c}+t \cdot \vec{n} \\
  c_{2}=\vec{c}-t \cdot \vec{n}}\)

Jeśli ktoś potrzebuje kodu w C++ rozwiązującego ten problem to niech pisze na priv.

Jestem ciemny z matmy. Wytłumaczy ktoś to co mówi MCM?

A czego konkretnie nie rozumiesz? Jeśli już naprawdę musisz, to zrób rysunek, powinien trochę wyjaśnić, albo spytaj o konkretny podpunkt w tym rozumowaniu.

(mcm, w sumie to przedostatni punkt w Twoim rozumowaniu jest oczywisty - wiadomo, o ile i wzdłuż jakiego kierunku się "cofnąć" od punktu \(\displaystyle{ c}\), żeby trafić w środek kuli, bez uciekania się do równania prostej. Pomysł za to bardzo ładny i chyba najprostszy z możliwych, coś jak "symetralna każdej cięciwy przechodzi przez środek okręgu", tylko w wersji 3D ).