układ równań w przestrzeni

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
suhl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 20 lip 2011, o 02:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocek
Podziękował: 1 raz

układ równań w przestrzeni

Post autor: suhl »

Cześć,

To mój pierwszy post tutaj. Próbuję rozwiązać następujące zadanie:

Trójkątna podstawa ostrosłupa leży na płaszczyźnie XZ i znane są współrzędne jej wierzchołków \(\displaystyle{ P_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}) P_{2}(x_{2},y_{2},z_{2}) P_{3}(x_{3},y_{3},z_{3})}\). Z każdego z wierzchołków podstawy poprowadzone są krawędzie ścian bocznych zbiegające się w wierzchołku \(\displaystyle{ P}\) ostrosłupa. Znane są kąty między tymi krawędziami a podstawą \(\displaystyle{ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}}\) . Potrzebuję wyznaczyć współrzędne wierzchołka \(\displaystyle{ P(x_{0},y_{0},z_{0})}\).
Stworzyłem do tego taki układ równań, ale być może można to rozwiązać inaczej.
Próbuję obliczyć współrzędne punktu w przestrzeni i otrzymałem układ równań, z którym nie wiem jak sobie poradzić. Jaką metodę obliczenia tego wybrać. Proszę Was o pomoc lub nakierowanie na materiały do zgłębienia wiedzy. Znane są: \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3}, y_{1}, y_{2}, y_{3}, z_{1}, z_{2}, z_{3}, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}}\)
a układ równań wygląda tak:

\(\displaystyle{ \begin{cases}
\frac{x- x_{0} }{ x_{1}- x_{0} } = \frac{y- y_{0} }{ y_{1}- y_{0} } = \frac{z- z_{0} }{ z_{1}- z_{0} } \\
\frac{x- x_{0} }{ x_{2}- x_{0} } = \frac{y- y_{0} }{ y_{2}- y_{0} } = \frac{z- z_{0} }{ z_{2}- z_{0} } \\
\frac{x- x_{0} }{ x_{3}- x_{0} } = \frac{y- y_{0} }{ y_{3}- y_{0} } = \frac{z- z_{0} }{ z_{3}- z_{0} } \\
\frac{ y_{0} }{ \sqrt{\left( x_{0}- x_{1}\right)^{2} + \left( z_{0}- z_{1} \right)^{2} } } = \tg \alpha_{1} \\
\frac{ y_{0} }{ \sqrt{\left( x_{0}- x_{2}\right)^{2} + \left( z_{0}- z_{2} \right)^{2} } } = \tg \alpha_{2} \\
\frac{ y_{0} }{ \sqrt{\left( x_{0}- x_{3}\right)^{2} + \left( z_{0}- z_{3} \right)^{2} } } = \tg \alpha_{3} \\

\end{cases}}\)


zależy mi na wyznaczeniu \(\displaystyle{ x_{0}, y_{0}, z_{0}}\) i uproszczeniu \(\displaystyle{ x, y, z}\)

Dziękuję za wszelką pomoc.
suhl
Ostatnio zmieniony 20 lip 2011, o 10:40 przez suhl, łącznie zmieniany 2 razy.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

układ równań w przestrzeni

Post autor: »

Może lepiej przedstaw wyjściowe zadanie?

Q.
suhl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 20 lip 2011, o 02:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocek
Podziękował: 1 raz

układ równań w przestrzeni

Post autor: suhl »

Już dodałem te informacje w oryginalnej wiadomości, żeby było bardziej czytelne.
Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1456
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

układ równań w przestrzeni

Post autor: Majeskas »

Ja bym zbudował inny układ. Niech \(\displaystyle{ P ^{\prime}}\) będzie rzutem punktu \(\displaystyle{ P}\) na płaszczyznę rozpiętą przez punkty \(\displaystyle{ P_1, \ P_2, \ P_3}\).

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin \alpha_1= \frac{\left| PP ^{\prime}\right| }{\left|PP_1 \right| } \\ \sin \alpha_2= \frac{\left| PP ^{\prime}\right| }{\left|PP_2 \right| } \\ \sin \alpha_3= \frac{\left| PP ^{\prime}\right| }{\left|PP_3 \right| } \end{cases}}\)
suhl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 20 lip 2011, o 02:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocek
Podziękował: 1 raz

układ równań w przestrzeni

Post autor: suhl »

Dzięki za zainteresowanie tematem.
Nie za bardzo rozumiem, jak 'przeniosłeś' te kąty alfa na płaszczyznę tworzącą podstawę. Kąty które są dane, kąty alfa, są zawarte pomiędzy płaszczyzną podstawy a krawędziami bocznymi ostrosłupa.
Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1456
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

układ równań w przestrzeni

Post autor: Majeskas »

Nie przeniosłem żadnych kątów. Zrób rysunek i przyjrzyj się. Skorzystałem z trygonometrii dla trójkątów prostokątnych \(\displaystyle{ P_1P^{\prime} P}\), \(\displaystyle{ P_2P^{\prime} P}\) i \(\displaystyle{ P_3P^{\prime} P}\). Kąt \(\displaystyle{ \alpha _k}\) znajduje się tam, gdzie umiejscowiłeś go ty, tj. w płaszczyźnie rozpiętej przez punkty \(\displaystyle{ P_k}\), \(\displaystyle{ P^{\prime}}\) i \(\displaystyle{ P}\), a nie \(\displaystyle{ P_1}\), \(\displaystyle{ P_2}\) i \(\displaystyle{ P_3}\).

Innymi słowy: kąt między prostą a płaszczyzną to kąt między prostą, a rzutem prostopadłym prostej na tę płaszczyznę. Zatem kąt \(\displaystyle{ \alpha_k}\) (między krawędzią boczną a podstawą ostrosłupa) jest kątem między prostą \(\displaystyle{ PP_k}\), a rzutem prostopadłym tej prostej na płaszczyznę \(\displaystyle{ P_1P_2P_3}\), czyli prostą \(\displaystyle{ P_kP^{\prime}}\).

Dokładnie z tego korzysta moje rozwiązanie, odwołując się do trójkątów prostokątnych, które otrzymujemy.

Także kąty są tam, gdzie mają być.
suhl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 20 lip 2011, o 02:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocek
Podziękował: 1 raz

układ równań w przestrzeni

Post autor: suhl »

Masz rację. Źle to sobie rozrysowałem, stąd moje zapytanie. Teraz to ma dla mnie sens. Z tego układu wynika, że wystarczyłoby wyznaczyć współrzędne \(\displaystyle{ P'}\)... no właśnie... muszę nad tym pomyśleć jak?

Może dodać do tego
\(\displaystyle{ \begin{cases}
\vec{P' P } = \vec{P'P_{1}} \times \vec{P'P_{2}} \\
\vec{P' P } = \vec{P'P_{1}} \times \vec{P'P_{3}} \\
\vec{P' P } = \vec{P'P_{2}} \times \vec{P'P_{3}} \\
\end{cases}}\)


i pójść tym tropem. Co o tym sądzisz?
Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1456
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

układ równań w przestrzeni

Post autor: Majeskas »

Nie, układ jest zły. Iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest to pewien wektor prostopadły do obydwu, spełniający określone warunki. Natomiast powyższy układ jest przypuszczalnie sprzeczny, bo dla każdej pary wektorów, którą tam masz, iloczyn wektorowy wyjdzie inny. Zauważ, że nawet układ typu:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \gamma= \alpha \times \beta \\ \gamma= \beta \times \alpha \end{cases}}\) jest bez sensu, bo \(\displaystyle{ \alpha \times \beta =-\left( \beta \times \alpha \right)}\)
Twoje iloczyny wektorowe będą zapewne różne od siebie i różne od wektora \(\displaystyle{ \vec{PP^{\prime}}}\). Natomiast wszystkie cztery wektory będzie łączył ten sam kierunek, a różnić je może norma i zwrot.

Ja bym zrobił tak:

Mamy płaszczyznę \(\displaystyle{ P_1P_2P_3}\) i wektor \(\displaystyle{ \vec{PP^{\prime} }}\) prostopadły do tej płaszczyzny.

\(\displaystyle{ \beta = \vec{P_1P_2} \times \vec{P_1P_3}}\)

Za pomocą powyższego iloczynu wektorowego znajdziemy pewien wektor prostopadły do \(\displaystyle{ P_1P_2P_3}\).

Wektor \(\displaystyle{ \vec{PP^{\prime}}}\) ma więc ten sam kierunek, co \(\displaystyle{ \beta}\), ale może mieć inną normę i zwrot. Ostatnia własność nie jest dla nas ważna, ale norma owszem. Teraz tak:

\(\displaystyle{ \vec{PP^{\prime}} \in lin\left( \beta \right) \ \Rightarrow \exists t \in \mathbb{R}: \quad \vec{PP^{\prime}}=t \beta}\)


Znajdziemy \(\displaystyle{ t}\)

\(\displaystyle{ \left| \left| \vec{PP^{\prime}}\right| \right|= \left| t\right| \cdot \left| \left| \beta \right| \right|}\)

Norma wektora \(\displaystyle{ \vec{PP^{\prime}}}\) to po prostu odległość punktu \(\displaystyle{ P}\) od płaszczyzny \(\displaystyle{ P_1P_2P_3}\), którą jesteśmy w stanie zapisać wzorem.

\(\displaystyle{ \left| \left| \vec{PP^{\prime}}\right| \right|=d\left( P, \ P_1P_2P_3\right)}\)


\(\displaystyle{ \left| t\right|= \frac{d\left( P, \ P_1P_2P_3\right)}{\left| \left| \beta \right| \right|}}\)


\(\displaystyle{ t=\frac{d\left( P, \ P_1P_2P_3\right)}{\left| \left| \beta \right| \right|} \quad \vee \quad t=-\frac{d\left( P, \ P_1P_2P_3\right)}{\left| \left| \beta \right| \right|}}\)


\(\displaystyle{ \vec{PP^{\prime}} =\frac{d\left( P, \ P_1P_2P_3\right)}{\left| \left| \beta \right| \right|} \beta \quad \vee \quad \vec{PP^{\prime}} =-\frac{d\left( P, \ P_1P_2P_3\right)}{\left| \left| \beta \right| \right|} \beta}\)


\(\displaystyle{ \vec{PP^{\prime}} =\frac{d\left( P, \ P_1P_2P_3\right)}{\left| \left| \beta \right| \right|} \beta \quad \vee \quad \vec{P^{\prime}P} =\frac{d\left( P, \ P_1P_2P_3\right)}{\left| \left| \beta \right| \right|} \beta}\)

Mając wektor \(\displaystyle{ \vec{PP^{\prime}}}\) wystarczy teraz dodać ten wektor do punktu \(\displaystyle{ P}\) i mamy \(\displaystyle{ P^{\prime}}\). Mając wektor \(\displaystyle{ \vec{P^{\prime}P}}\), po odjęciu tego wektora od \(\displaystyle{ P}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ P^{\prime}}\). Wychodzi na to samo. Można więc dla wygody od razu wziąć \(\displaystyle{ t>0}\). To jest ten moment, w którym wychodzi na to, że kwestia zwrotów w kontekście wektorów \(\displaystyle{ \beta}\) i \(\displaystyle{ \vec{PP^{\prime}}}\) nie jest istotna.

Wiem, że tego typu obliczenia na symbolach prezentują się ponuro, ale w algebrze tak to już jest. Można oczywiście w inny sposób znaleźć ten rzut. Np. poprzez bazę ortogonalną. Ale wątpię, żeby było to mniej pracochłonne.

Pozdrawiam.-- 21 lipca 2011, 00:53 --Właśnie sobie zdałem sprawę, że większość tego wywodu była niepotrzebna.

Majeskas pisze:
Norma wektora \(\displaystyle{ \vec{PP^{\prime}}}\) to po prostu odległość punktu \(\displaystyle{ P}\) od płaszczyzny \(\displaystyle{ P_1P_2P_3}\), którą jesteśmy w stanie zapisać wzorem.

\(\displaystyle{ \left| \left| \vec{PP^{\prime}}\right| \right|=d\left( P, \ P_1P_2P_3\right)}\)

Majeskas pisze:Ja bym zbudował inny układ. Niech \(\displaystyle{ P ^{\prime}}\) będzie rzutem punktu \(\displaystyle{ P}\) na płaszczyznę rozpiętą przez punkty \(\displaystyle{ P_1, \ P_2, \ P_3}\).

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin \alpha_1= \frac{\left| PP ^{\prime}\right| }{\left|PP_1 \right| } \\ \sin \alpha_2= \frac{\left| PP ^{\prime}\right| }{\left|PP_2 \right| } \\ \sin \alpha_3= \frac{\left| PP ^{\prime}\right| }{\left|PP_3 \right| } \end{cases}}\)

Przecież tak naprawdę nie potrzeba nam współrzędnych punktu \(\displaystyle{ P^{\prime}}\). Potrzebna jest długość odcinka \(\displaystyle{ PP^{\prime}}\), czyli norma wektora \(\displaystyle{ \vec{PP^{\prime}}}\).

Mamy zatem układ:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin \alpha_1= \frac{d\left( P, \ P_1P_2P_3\right) }{\left|PP_1 \right| } \\ \sin \alpha_2= \frac{d\left( P, \ P_1P_2P_3\right) }{\left|PP_2 \right| } \\ \sin \alpha_3= \frac{d\left( P, \ P_1P_2P_3\right) }{\left|PP_3 \right| } \end{cases}}\)
suhl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 20 lip 2011, o 02:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocek
Podziękował: 1 raz

układ równań w przestrzeni

Post autor: suhl »

No teraz faktycznie będzie trochę łatwiej. Doszedłem po podstawieniach do takiego układu równań wielomianowych:

\(\displaystyle{ \begin{cases}
A_{1} x^{2} + B_{1}y^{2} + C_{1}z^{2} + D_{1}x + E_{1}y + F_{1}z + G_{1}xy + H_{1}xz + I_{1}yz + J_{1} = 0 \\
A_{2} x^{2} + B_{2}y^{2} + C_{2}z^{2} + D_{2}x + E_{2}y + F_{2}z + G_{2}xy + H_{2}xz + I_{2}yz + J_{2} = 0 \\
A_{3} x^{2} + B_{3}y^{2} + C_{3}z^{2} + D_{3}x + E_{3}y + F_{3}z + G_{3}xy + H_{3}xz + I_{3}yz + J_{3} = 0 \\
\end{cases}}\)


Gdzie:
\(\displaystyle{ A_{n}..J_{n}}\) to są stałe.
Teraz rodzi się kolejne pytanie. Jak rozwiązać układ trzech równań drugiego stopnia z trzema niewiadomymi?
ODPOWIEDZ