Przekształcenia afiniczne

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
PAV38
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 149
Rejestracja: 24 paź 2010, o 09:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 2 razy

Przekształcenia afiniczne

Post autor: PAV38 »

Witam,
Kolejna porcja pytań na dziś
Podać przekształcenie afiniczne, które dla każdego parametru \(\displaystyle{ t}\) punkt z prostej \(\displaystyle{ l_{1}}\) przechodzi na prostą \(\displaystyle{ l_{2}}\):

\(\displaystyle{ l_{1} \begin{cases} x=1+t\\y=2+2t\\z=2+t\end{cases}}\) \(\displaystyle{ \rightarrow}\) \(\displaystyle{ l_{2} \begin{cases} x=2s\\y=1+4s\\z=9+2s\end{cases}}\)

Czyli punkt \(\displaystyle{ P=(1,2,2)}\) przechodzi na punkt \(\displaystyle{ P'=(0,1,9)}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0\\1\\9\\1\end{array}\right]}\)=\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&0&dx\\0&1&0&dy\\0&0&1&dz\\0&0&0&1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}1\\2\\2\\1\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 1+dx=0\\2+dy=1\\2+dz=9\\1=1\end{cases} \rightarrow \begin{cases} dx=-1\\dy=-1\\dz=7\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ f\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x-1\\y-1\\z+7\end{array}\right)}\)

I to już jest przekształcenie afiniczne?
Jak dostać z tego co wyszło postać:
\(\displaystyle{ y=Ax+b}\)

I pytanie dwa:
Co zrobić jeżeli przesuwamy np. kwadrat? Powtarzamy powyższą operację, dla 4 wierzchołków oddzielnie?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Przekształcenia afiniczne

Post autor: janusz47 »

\(\displaystyle{ f \left[ \begin{array}{c} x \\ y\\z \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right] \cdot \left[ \begin{array}{c}x\\y\\z \end{array} \right] + \left[\begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 7 \end{array} \right].}\)
Gdy przesuwamy np. kwadrat wykonujemy powyższą operację dla każdego wierzchołka oddzielni
PAV38
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 149
Rejestracja: 24 paź 2010, o 09:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 2 razy

Przekształcenia afiniczne

Post autor: PAV38 »

Mógłbym prosić, o wyznaczenie przekształcenia, które trójkąt o wierzchołkach: \(\displaystyle{ P_{1}=(-1,2)}\), \(\displaystyle{ P_{2}=(3,-1)}\), \(\displaystyle{ P_{3}=(6,3)}\) zamienia na trójkąt o wierzchołkach: \(\displaystyle{ P'_{1}=(0,0)}\), \(\displaystyle{ P'_{2}=(5,0)}\), \(\displaystyle{ P'_{3}=(5,5)}\).

Każdy punkt wyznacza inne przekształcenie i nie wiem jak sobie z tym poradzić ;/
ODPOWIEDZ