zad. 2
Szukamy
\(\displaystyle{ S_1=(x_1,y_1,z_1)}\)
Gdy już mamy wzór prostej, złożonej z punktów równo odległych od
\(\displaystyle{ A,B,C}\) i chcemy znaleźć punkt, który będzie środkiem sfery o zadanym promieniu
\(\displaystyle{ R}\). Wystarczy dodać którykolwiek z warunków:
\(\displaystyle{ |AS_1|=R}\) lub
\(\displaystyle{ |BS_1|=R}\) lub
\(\displaystyle{ |CS_1|=R}\)
I zapisać układ równań. Weźmy dla przykładu:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-x_a)^{2}+(y-y_a)^{2}+(z-z_a)^{2}=R^{2} \\ 2(x_b-x_a)x+2(y_b-y_a)y+2(z_b-z_a)z+x_a^{2}-x_b^{2}+y_a^{2}-y_b^{2}+z_a^{2}-z_b^{2}=0 \\ 2(x_c-x_a)x+2(y_c-y_a)y+2(z_c-z_a)z+x_a^{2}-x_c^{2}+y_a^{2}-y_c^{2}+z_a^{2}-z_c^{2}=0 \end{cases}}\)
Ponieważ jedno równanie układu jest kwadratowe, a pozostałe liniowe, układ ten można sprowadzić do równania kwadratowego z jedną niewiadomą, które dla każdego
\(\displaystyle{ R>0}\) będzie miało 2 rozwiązania. Zatem rozwiązaniem układu będą punkty:
\(\displaystyle{ S_1'=(x_1',y_1',z_1')}\),
\(\displaystyle{ S_1''=(x_1'',y_1'',z_1'')}\), spełniające warunki zadania.
-- 28 czerwca 2011, 01:12 --
loleklulek pisze:x y z (bez dolnego indexu) w macierzy jest szukanym środkiem czy miejscami zerowymi?
Nie rozumiem pytania. To właściwie nie jest macierz, tylko wyznacznik macierzy. Ten wyznacznik macierzy przyrównany do 0 to po prostu sposób zapisu równania opisującego płaszczyznę. W tym równaniu znane nam są wszystkie współrzędne indeksowane, ponieważ są to współrzędne punktów, które sobie wzięliśmy. Natomiast to, co w wyznaczniku macierzy jest nieindeksowane, to są zmienne tego równania. Oblicz ten wyznacznik, to zobaczysz. Ponadto nie trzeba tego tak robić. Ja bym inaczej szukał równania płaszczyzny, mając konkretne liczby. Tutaj zapisałem tak dlatego, że wyprowadzałem ogólne wzory i niewygodne byłoby obliczanie iloczynu wektorowego wektorów zapisanych za pomocą literek.
W każdym razie ten przyrównany do 0 wyznacznik to jest nic innego, jak równanie płaszczyzny przechodzącej przez dowolne, ustalone punkty
\(\displaystyle{ A,B,C}\). Nie ma to nic wspólnego z jakimiś miejscami zerowymi, czy też ze środkiem sfery, o którą tu chodzi. Jeszcze raz napiszę: środek sfery (właściwie kuli) to punkt przecięcia płaszczyzny przechodzącej przez punkty
\(\displaystyle{ A,B,C}\) i prostej zawierającej punkty równo odległe od
\(\displaystyle{ A,B,C}\). Stąd, żeby znaleźć współrzędne tego środka, należy rozwiązać układ równań, który na końcu zapisałem.