Wyprowadzenie równania płaszczyzny

[Fisher90]

Witam
Proszę o pomoc w wyprowadzeniu równania prostej w postaci kanonicznej o danym wektorze kierunkowym i przechodzącej przez dany punkt.
Jak na razie mam to:
"Niech \(\displaystyle{ A_{0}( x_{0}, y_{0}, z_{0})}\) będzie punktem w przestrzeni i niech \(\displaystyle{ \vec{K}=[a, b, c]}\) będzie dowolnym wektorem."
Dalej nie wiem, jak powinno brzmieć wyprowadzanie równania tej prostej. Lepiej, nawet nie wiem, czy to co napisałem powyżej mogłoby być początkiem wyprowadzania tej prostej.
Zatem proszę o jakąkolwiek pomoc. Wszelkie wskazówki będą mile widziane.

[Crizz]

Chodzi Ci o postać \(\displaystyle{ \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}}\)? To przede wszystkim nie "dowolnym wektorem".

Możesz wyjść od własności, że rozważana prosta będzie zbiorem punktów \(\displaystyle{ P(x,y,z)}\) o tej własności, że \(\displaystyle{ \vec{PB}=t\vec{K}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\). Stąd równanie dostajesz natychmiast (chyba, że chcesz wyjść od innego określenia prostej).

[Fisher90]

Tak, chodzi mi o tą postać.
Czyli wystarczyłoby?:
Niech prosta \(\displaystyle{ l}\) będzie zbiorem punktów \(\displaystyle{ P(x,y,z)}\) o tej własności, że wektor\(\displaystyle{ \vec{PB}}\)jest równy iloczynowi wektora \(\displaystyle{ \vec{K}}\) i pewnego \(\displaystyle{ t}\) będącego parametrem równania prostej \(\displaystyle{ l}\). \(\displaystyle{ t}\) należy do zbioru liczb rzeczywistych. Stąd równanie prostej w postaci kanonicznej o danym wektorze kierunkowym i przechodzącej przez dany punkt będzie miało postać
\(\displaystyle{ l: \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}}\)
Dobrze w ogóle, to przekształciłem co wcześniej napisałeś?
Jednak jest problem punkt \(\displaystyle{ B}\) skąd się wziął? Czy to nie jest przypadkiem punkt przez, który przechodzi prosta \(\displaystyle{ l}\)? Jeśli tak, to musiałbym wcześniej coś o nim wspomnieć, bo przecież chodzi o to, że ta prosta l przechodzi przez niego.
Proszę o pomoc.

[Crizz]

Jak najbardziej, jest. Przecież sam wektor nie wyznaczy jednoznacznie prostej.

Oczywiście równość, która wynika z równości opisanych wektorów, trzeba jeszcze przekształcić i pokazać, że istotnie \(\displaystyle{ \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{x-x_0}{a}=\frac{z-z_0}{c}}\). Przydałyby się również założenia odnośnie wektora kierunkowego.