Witam
Mam takie przejście: \(\displaystyle{ <M v^T ||M v^T>= <M^T M v^T|| v>}\)\(\displaystyle{ }\), gdzie "< >" -iloczyn skalarny , M -macierz, v - wektor. Poza tym nie za wiele wiadomo. Potrafi ktoś to wyjaśnić?
iloczyn skalarny - skąd to przejście
-
marcinz
- Użytkownik
- Posty: 370
- Rejestracja: 26 sty 2010, o 21:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 53 razy
iloczyn skalarny - skąd to przejście
Jest po prostu taka ogólna własność dla macierzy kwadratowych \(\displaystyle{ M}\) i wektorów \(\displaystyle{ v,w}\) odpowiednich wymiarów:
\(\displaystyle{ <M w,v>=<w, M^T v>}\)
Można ją udowodnić rozpisując współczynniki. Czyli jeśli oznaczymy \(\displaystyle{ M=(m_{ij}),v=(v_i),w=(w_i)}\), to \(\displaystyle{ <M w,v>= \sum_{i=1}^{n} (m_{i1} w_1+m_{i2} w_2+...+m_{in} w_n) v_i= \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} v_i w_j m_{ij}}\), analogicznie rozpisujesz prawą stronę i wyjdzie.
\(\displaystyle{ <M w,v>=<w, M^T v>}\)
Można ją udowodnić rozpisując współczynniki. Czyli jeśli oznaczymy \(\displaystyle{ M=(m_{ij}),v=(v_i),w=(w_i)}\), to \(\displaystyle{ <M w,v>= \sum_{i=1}^{n} (m_{i1} w_1+m_{i2} w_2+...+m_{in} w_n) v_i= \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} v_i w_j m_{ij}}\), analogicznie rozpisujesz prawą stronę i wyjdzie.