Wyprowadzenie wzoru na równanie stycznej do okregu

[Flaku]

Witam. Dziś zauważyłem, że przydałby się wzór na równanie stycznej do okręgu przechodzącej przez dany punkt, a że nie mieliśmy takiego w szkole pomyślałem, że spróbuje wyprowadzić. Po trzech godzinach się poddałem. Najpierw miałem pomysł by wykorzystać wzór na odległość punktu od prostej (w końcu promień to odległość środka okręgu od stycznej), ale 2 równania a 3 niewiadome(bo w tym wzorze postać ogólna funkcji liniowej) do tego w mianowniku pierwiastek. Stwierdziłem, że może lepiej by było znaleźć równanie wszystkich stycznych do okręgu, a następnie wybrać te, przechodzące przez dany punkt, więc układ równań dowolnej prostej i danego okręgu musiałby mieć jedno rozwiązanie. Niestety nie dałem rady tak dobrać parametru a by układ spełniał ten wymóg. Ma ktoś pomysł jak to zrobić?

[bartek118]

Proponuję zrobić tak jak Ty zacząłeś, ale z równaniem kierunkowym prostej. Styczne, które są równoległe do OY łatwo znaleźć - jeśli środek jest w \(\displaystyle{ (a, b)}\), to te styczne mają równania:
\(\displaystyle{ x=a-r}\)
\(\displaystyle{ x=a+r}\)

[mat_61]

bartek118, tutaj nie chodzi o styczne równoległe do osi OY tylko o styczne poprowadzone z danego punktu P.

Proponuję zrobić tak:

Współrzędne środka okręgu:
\(\displaystyle{ S\left( x_{s};y_{s}\right)}\)

Współrzędne punktu P:
\(\displaystyle{ P\left( x_{P};y_{P}\right)}\)

Równanie prostej:
\(\displaystyle{ y=ax+b}\)

Ponieważ prosta przechodzi przez punkt P, to:
\(\displaystyle{ y_{P}=ax_{P}+b \Rightarrow b=y_{P}-ax_{P}}\)

\(\displaystyle{ y=ax+y_{P}-ax_{P} \Rightarrow ax-y+y_{P}-ax_{P}}\)

Teraz wystarczy skorzystać ze wzoru na odległość punktu S (środka okręgu) od powyższej prostej:

\(\displaystyle{ r= \frac{\left| ax_{S}-y_{S}+y_{P}-ax_{P}\right| }{ \sqrt{a^{2}+1} }}\)

Otrzymujesz równanie z niewiadomą \(\displaystyle{ a}\). Wystarczy je rozwiązać, wyznaczyć b i masz równanie prostej (a nawet dwóch )

[Flaku]

mat_61 doszedłem do tego samego za pierwszym razem, ale właśnie przy tym równaniu dałem sobie spokój(wstyd przyznać ale rozwiązanie zajęło mi 2 strony i dalej do niczego ciekawego nie doszedłem bo przy podnoszeniu obustronnie do kwadratu wyszły cuda)

[mat_61]

Mi też zajęło 2 strony. Wyszło takie równanie kwadratowe:

\(\displaystyle{ a^{2}\left[ \left( x_{P}-x_{S}\right)^{2}-r^{2}\right] +2a\left( x_{S}-x_{P}\right)\left( y_{P}-y_{S}\right) +\left( y_{P}-y_{S}\right) ^{2}-r^{2}}\)

i takie wartości a:

\(\displaystyle{ a_{1,2}= \frac{\left( x_{P}-x_{S}\right) \left( y_{P}-y_{S}\right) \pm r\sqrt{\left( x_{P}-x_{S}\right)^{2}+\left( y_{P}-y_{S}\right)^{2}-r^{2} } }{\left( x_{P}-x_{S}\right)^{2}-r^{2} }}\)

Należałoby ewentualnie sprawdzić, czy gdzieś nie ma błędu (+dodać warunek, że punkt P nie leży wewnątrz okręgu).

Pozostaje pytanie do czego ma służyć ten wzór. Jeżeli ma być pomocą w rozwiązywaniu zadań to wg mnie znacznie łatwiej zapamiętać ten wcześniejszy np. w takiej postaci:

\(\displaystyle{ r= \frac{\left| a\left( x_{S}-x_{P}\right) -y_{S}+y_{P}\right| }{ \sqrt{a^{2}+1} }}\)

i rozwiązywać równanie po podstawieniu danych.