Styczna do powierzchni równoległa do płaszczyzny

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
mis3k
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 2 cze 2011, o 22:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Styczna do powierzchni równoległa do płaszczyzny

Post autor: mis3k »

Witam!

Mam problem z takim oto zadaniem:


Wyznaczyc punkty, w których płaszczyzna styczna do wykresu funkcji \(\displaystyle{ z = x^{2} y - 2xy}\)
jest
a) równoległa do płaszczyzny \(\displaystyle{ x - y - 3 = 0}\);
b) prostopadła do płaszczyzny \(\displaystyle{ 16y + 9z = 0}\).

W zasadzie nie bardzo wiem jak się za nie zabrać.-- 5 cze 2011, o 16:11 --Sorry za double, ale zależy mi na tym aby ktoś rozwiązał przynajmniej a)
Ostatnio zmieniony 3 cze 2011, o 12:02 przez Justka, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].
zielonomiwglowie
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 8 kwie 2016, o 08:19
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: gliwice

Styczna do powierzchni równoległa do płaszczyzny

Post autor: zielonomiwglowie »

Również mam problem z tego typu zadaniami, znalazłam nawet podobne na forum : https://www.matematyka.pl/390103.htm
i stosując schemat z powyższego zadania do podpunktu a
czyli
\(\displaystyle{ grad \left( F \right) = \alpha \vec{n}}\)
gdzie \(\displaystyle{ n}\) to wektor\(\displaystyle{ \left\langle A,B,C \right\rangle}\), jeśli tą płaszczyznę, do której ma być równoległa płaszczyzna styczna, zapiszemy w postaci\(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\) (dobrze rozumiem?)

i dostaniemy
\(\displaystyle{ \left[ 2xy-2y, x^2-2x,-1 \right] = \alpha \left[ 1,-1,0 \right]}\)
z tego
\(\displaystyle{ -1= \alpha \cdot 0}\)
sprzeczność

Wydaje mi się dziwne takie rozwiązanie, gdy w równaniu płaszczyzny, do której ma być równoległa płaszczyzna styczna \(\displaystyle{ C=0}\). Czy dobrze myślę? Jak postępować prawidłowo?

Jak postępować w podpunkcie b?

Proszę o pomoc.
Ostatnio zmieniony 23 kwie 2016, o 21:58 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Styczna do powierzchni równoległa do płaszczyzny

Post autor: kerajs »

zielonomiwglowie pisze:\(\displaystyle{ grad \left( F \right) = \alpha \vec{n}}\)
gdzie n to wektor\(\displaystyle{ \left\langle A,B,C \right\rangle}\), jeśli tą płaszczyznę, do której ma być równoległa płaszczyzna styczna, zapiszemy w postaci\(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\) (dobrze rozumiem?)
Dobrze rozumiesz.
zielonomiwglowie pisze:dostaniemy
\(\displaystyle{ \left[ 2xy-2y, x^2-2x,-1 \right] = \alpha \left[ 1,-1,0 \right]}\)
z tego
\(\displaystyle{ -1= \alpha \cdot 0}\)
sprzeczność.
Wydaje mi się dziwne takie rozwiązanie, gdy w równaniu płaszczyzny, do której ma być równoległa płaszczyzna styczna \(\displaystyle{ C=0}\). Czy dobrze myślę? Jak postępować prawidłowo?.
Sprzeczność oznacza, iż taka płaszczyzna styczna nie istnieje. To dość oczywiste, gdyż dla z=f(x,y) płaszczyzna styczna równoległa do osi OZ nie może istnieć ( to tak jak szukać prostej stycznej do y=f(x) o równaniu x=k).
zielonomiwglowie pisze:Jak postępować w podpunkcie b?.
Najwygodniej z iloczynu skalarnego
\(\displaystyle{ grad \left( F \right) \circ \vec{n}=0\\
\left[ 2xy-2y \ , \ x^2-x \ , \ -1\right]\circ\left[ 0 \ , \ 16 \ , \ 9\right] =0\\
16 \left( x^2-2x \right) -9=0\\
x= \frac{9}{4} \vee x= \frac{-1}{4}}\)

Nieskończenie wiele punktów spełniających treść zadania ma współrzędne:
\(\displaystyle{ P=\left(\frac{9}{4} \ , \ y \ , \ \left( \frac{9}{4} \right) ^2y-2 \cdot \frac{9}{4}y\right)}\)
oraz
\(\displaystyle{ Q=\left(\frac{-1}{4} \ , \ y \ , \ \left( \frac{-1}{4} \right) ^2y-2 \cdot \frac{-1}{4}y\right)}\)
dla dowolnego \(\displaystyle{ y}\).
Ostatnio zmieniony 23 kwie 2016, o 21:59 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
ODPOWIEDZ